高三几何概型复习面面观

李琳

【摘要】概率是高考中的必考题型，在高考中的重要地位是众所周知的，作为几何概型，考试中常常以选择题或填空题的形式考查，很多同学因为没有全面掌握或没有牢固地掌握这个知识点而导致考试中扣分.为此，对这个知识点进行全面的复习是非常有必要的.下面我们将几何概型里面几种常考的题型总结一下.

【关键词】高考；概率；几何概型；无限性；等可能性

概念复习：几何概型

如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

几何概型的两个特点：

一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的.因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示.

P（A）=构成事件A的区域长度（体积或面积）试验的全部结果所构成的区域长度（体积或面积）.

（2）如图1所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率.

分析（1）这个题目相对较简单，总的事件数是在[0，π]上任取一个数的结果，有无数个，所以用长度度量.sinx>12可得x∈π6，5π6，长度为2π3，所以本小题的答案是23.

（2）这是个典型的易错题.常见解法如下：

∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，DC=3，∴P（BM<1）=11+3=3-12.

在学生的解答过程当中，绝大部分同学是按上面方法算的，而且还想不明白为什么是错的.下面先看正确的解法：

解∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，∠BAC=75°，∴P（BM<1）=30°75°=25.

好像兩种解法都很有道理，但是结果却不一样！问题到底出在哪里呢？让我们回到题目上来，题目是要求在∠BAC内作射线AM交BC于点M，也就是说点M是在∠BAC内作射线与BC相交产生的，是先有射线再产生点M，而不是直接到BC上去取点M，这个事件是找符合条件的射线，不是找符合条件的点.所以解题的时候就是从角的度量区域出发，而不是从线段长度的区域出发.

题型二：与面积有关的几何概型

例2（1）如图2所示，矩形OABC内是y=sinx，x∈（0，π）的一部分，AB=3，向矩形内随机投掷一点，求落在阴影部分内的概率为.

（2）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

解这是常规题型，难度不大，如下解.

（1）由题知，矩形的面积是3π，阴影部分的面积是∫π0sinxdx=2.所求概率为阴影部分面积与矩形的面积之比即P=23π.

（2）设甲到达的时间为x，乙到达的时间为y，则0

题型三：与体积有关的几何概型

例3（1）如图4所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离小于1的概率.

（2）如图5所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则AA1·AM≤1的概率.

解（1）正方体的体积为2×2×2=8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3=12×43πr3=23π，则点P到点O的距离小于1的概率为23π8=π12.

（2）由向量数量积的几何意义知：AM·AA1可以表示向量AM在向量AA1上的投影与|AA1|的乘积，所以AM·AA1≤1，即表示向量AM在向量AA1上的投影小于等于12，因此，M落在与平面ABCD平行且与ABCD距离为12的平面A′B′C′D′和平面ABCD所夹的长方体内，如图6所示.

∴P（A）=2×2×122×2×2=14.

小结求几何概型主要有“线型”“面积型”“体积型”三种典型的题型.我们在解题时，首先，要理解好题意，审题要仔细，判断是哪种几何概型，然后，去求相应的比值得出概率.几何概型主要是考查数形结合思想和逻辑思维能力.另外，我们也可以看出，在高三的复习中，我们也要注重基本概念和基础知识的理解和应用.