浅谈数学教学需要培养学生的数学意识

卢娟

【摘要】数学意识就是平常我们所说的要有数学头脑，就是对数学问题的看法.本文从两方面来谈数学意识.首先，说明培养数学意识的重要性.数学意识是学生学好数学、用好数学、改造客观世界和发明创造必须具备的一个重要条件.在数学教学过程中，还要培养学生善于运用数学意识去考虑问题、处理问题的能力.从学生发展的长远来看这是很必要的.其次，谈如何培养学生的数学意识.要培养学生的数学意识，应该培养好他们的推理意识、整体意识、抽象与概括的意识、运动变化的意识、化归意识、审美意识.

数学意识就是平常我们所说的要有数学头脑，就是对数学问题的看法.要求我们能用数学思想、观念、态度去观察、解释和表示事物的数量关系、空间形式和数据信息，以形成量化的意识和优良的数感.

一、培养数学意识的重要性

培养学生的数学意识是我们的一个很重要的教育目的，数学意识是每一个公民必须具备的素质，我们这些从事数学教育工作的教师一个重要的任务就是要把的学生培养成具有强烈的数学意识的社会未来公民.数学意识是学生学好数学、用好数学、改造客观世界和发明创造必须具备的一个重要条件，如，欧拉的“七桥问题”：18世纪，北欧的哥尼斯堡城有一条河，河有两条支流，在城中心汇合后流入波罗的海，市内有七座桥，连接岛屿和两岸，如图1所示.

当时有人提出这样一个问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地.一开始，欧拉试图用“穷举法”，逐次实验，发现太困难，他想如果还是同样问题，桥更多，这种“穷举法”显然毫无实用价值，通过认真地思索，他敏锐地发现，这个问题与岛的大小，路程的长短无关，因此，欧拉把两个岛和河岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示.这样“七桥问题”便转化为“一笔画问题”，于是问题就不难解决了.从这个例子可以看出欧拉因为具有良好的数学意识，才能抛开活生生的生活原模型去掉非本质属性，抽象出本质属性建立数学模型，这样就用很少的数学知识，解决了生活中的难题，这说明数学意识是数学发现的一个必要条件，在数学教学过程中，我们一直强调要培养学生解决问题的能力，笔者认为它不仅意味着解数学题的能力、将实际问题转化为数学问题来处理的能力，还应该包括善于运用数学意识去考虑问题、处理问题的能力.从中学生长远的角度来考虑，具备后者往往比前者更为重要，更能在今后的生活、学习和工作中发挥作用.

二、如何培养学生的数学意识

培养学生的数学意识，应该培养好他们的推理意识、整体意识、抽象与概括的意识、运动变化的意识、化归意识、审美意识.

（一）推理意识

所谓推理意识就是能由一个或几个判断推出另一个判断的思维心理趋势.数学离不开推理，这是因为思维离不开推理，计算离不开推理，证明更离不开推理等等.著名美籍匈牙利数学教育家波利亚曾经说过：“严格的证明是数学的标志，这是数学对于一般文化修养所提供的不可缺少的素养，一名学生对于数学证明从未留下印象，那他就是缺少了一种基本的思维经历.”由此可以推知数学意识应该是人们具备的素养.我国著名数学家曹才翰教授也曾指出：“数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学思维活动.”波利亚曾统计，学生毕业后研究数学和从事数学教育的占1%，使用数学的人占29%，基本不用数学的占70%.由此可知，数学知识本身对于大多数人来说并不是绝对重要的，而数学意识却影响一个人的一生，因此，我们要求：（1）要培养学生善于从原有知识推出新知识的能力；（2）要培养学生实事求是的科学态度，及言之有理、言必有据的良好作风.

（二）整体意识

我们先从一则故事说起：有三个人来砌墙，管理人员就问这三个人如何砌墙而且砌什么墙，第一个人说“砌砖”，第二个人说“砌墙”，第三个人说“砌房子”.结果，管理人员委托第三个人以重任，说第三个人具有整体意识.可见整体意识很重要.数学中的整体意识，就是全面地把局部知识和方法联系起来，组成整体，融会贯通.比如，数学中的分类法就是整体意识的典型例子.培养整体意识，不能仅强调一个整体，要会联系，要处理好整体与局部的关系，就是由“点”到“面”连成一片形成一个结构，这个结构就是整体的骨架，弄清了结构，也就弄清了整体.如“七桥问题”，欧拉保留了岛与桥及陆地的连接关系全貌，综合了局部问题的所有特点，从整体上把握了问题的关键和实质，抽象出点与线之间的连接.培养整体意识，就是要全面地看问题，不要片面地对待问题，防止以偏概全.

（三）抽象与概括的意识

抽象就是從纷繁复杂的事物现象中，去掉非本质属性，抽象出本质属性.抽象被认为是数学的基本特性，因此，在解决问题的过程中，要注意区分主要因素和次要因素、本质与表面现象，从而抓住实质，解决问题；自觉地把适当问题转化为数学问题，自觉地进行抽象，建立数学模型.这意味着对事物的现象与结构、事物之间和事物内部元素之间的敏感，其中包括对数量及形状的敏感，这样才能解决问题，如欧拉的“七桥问题”.概括就是把若干事物的共同特性归纳出来进行考察的方法，如，对秤、温度计和标尺的抽象概括，得到了数轴的概念，从而使数轴上的点和实数建立了一一对应的关系.抽象与概括有密切联系，不可分割，抽象是概括的基础，概括是抽象的结果，数学中的每一个概念和原理都是先对一系列同类对象的共同本质属性进行抽象，然后加以概括而得到的.

（四）运动变化的意识

任何事物都是运动变化的，不是一成不变的，数学的研究对象也是如此.如，将平面问题推广到空间，常常可通过运动来实现；将一个角沿垂直于角所在平面的方向运动，角的顶点运动轨迹是一条直线，角的每一条边运动成一个半平面，这样就得到一个二面角.这个角在运动中的每一瞬间位置都是这个二面角的平面角.此外我们在处理问题时，要善于抓住静止不变的量，不变的是事物的本质，变化的是事物的表面现象，因此，我们要在变化中寻找不变量，抓住本质，以不变应万变.如，在学习三角形、多边形时，一定要抓住三角形内角和是π、多边形的外角和是2π等不变量，才能学好数学，特别地，在解应用题中能找出不变量，才能有效地进行解题.

（五）化归意识

它是数学所特有的方法，就是把问题转化为已经解决的或易于解决的问题.如，数学中的有限与无限，数与形，曲线与直线，空间与平面的相互化归，可以解决许多难以解决的难题.建立化归意识，可以帮助学生了解新与旧、未知与已知的联系，了解解决问题的途径不是唯一的，从而提醒他们自觉地进行联想，调整思维方向，对解决问题大有益处，同时对培养思维的灵活性起到强有力的作用.

（六）审美意识

物理学家开普勒说：“数学是这个世界之美的原型.”庞加莱说：“没有美感的人，不可能成为数学家.”“科学发明就是选择，而选择是靠美感来决定的.”这说明数学美非常重要.它包括和谐美、简单美、奇异美等等.如，二次函数y=ax2（a≠0）就体现了一种简单美.用它可以描述自由落体运动规律s=12gt2，又可以表达质能公式E=mc2，还可以用来计算圆的面积S=πr2；通过二次函数的图像，可以描绘抛掷一个小石头的运动路线，还可以刻画浩瀚宇宙天体的运动轨迹.因此，教师要不断地通过揭示数学中美的因素，做出美的示范，让学生得到美的熏陶，理解美的真正含义，方能更好地去理解问题.如，由椭圆本身具有的对称性，我们可以猜测它的方程在建立适当的直角坐标系以后，也应具有“对称性”，因此，在推导椭圆的标准方程中，就不难理解令b2=a2-c2的道理，事实上b也具有几何意义，以此达到“美”与“真”的结合.兴趣是最好的老师，作为教师若能在教学的过程中揭示数学美，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，还可以为学生更好地获得知识，奠定良好的心理基础.

一个人具有良好的数学意识之后，那么他在工作中看问题，就会从全局上把握，处理好整体与各个环节之间的联系；能抓住问题的关键，用运动变化的观点对待问题；能把不容易解决的问题，转化为易于解决的问题；能有条不紊地有根有据地处理问题；能在生活中发现美的因素，自我激发兴趣以便更好地投入工作，提高自身的素质.