一种利用复积分求定积分的方法

马志良

【摘要】本文主要研究的是用复积分计算定（实）积分问题，并借助例题的形式给出了辅助函数为不同类型下的一般计算方法.

【关键词】留数；多值函数；极点；支割线

【基金项目】兰州资源环境职业技术学院校级课题（Z2016-19）.

一、预备知识

定理若z0为f（z）=φ（z）φ（z）的一级极点，其中φ（z0）≠0，φ（z0）=0，φ′（z0）≠0，则有Res[f（z），z0]=limz→z0φ（z）φ′（z）=φ（z0）φ′（z0）.

例如，设z0为1z4+1的一级极点，则Res1z4+1，z0=limz→z01（z4+1）′=limz→z014z3=14z30=z04z40=-z04.

二、复积分在实积分中的应用

（一）辅助函数为复变单值函数

例1计算实积分∫+∞-∞1x4+1dx.

解辅助函数选为f（z）=1z4+1，在复平面有4个一级极点，z1=eπ4i，z2=e3π4i，z3=e5π4i，z4=e7π4i.作以原点为圆心，R≥1为半径的上半圆，积分路径如图1所示.

对上式两边求R→∞的极限，则得

∫+∞-∞1x4+1dx+limR→+∞∫CR1z4+1dz=22π，

∫CR1z4+1dz≤∫π01R4ei4θ+1dθ≤∫π01R4ei4θ+1dθ

≤∫π01R4|cos4θ|+1dθ≤∫π01R4+1dθ≤πR4+1，

故limR→+∞∫CR1z4+1dz≤limR→+∞πR4+1=0

limR→+∞∫CR1z4+1dz=0，所以∫+∞-∞1x4+1dx=22π.

从这个例子可以看出，当辅助函数为单值函数时，积分曲线只需作以原点为圆心，包含孤立奇点的上半圆，然后用闭曲线上的留数定理计算可得.

（二）辅助函数为复变多值函数

例2计算实积分∫+∞0xlnx（1+x）2dx.

解辅助函数选为f（z）=zlnz（1+z）2，由于z与lnz是多值函数，支点为0与∞，所以函数f（z）的支点也为0与∞.函数f（z）在整个复平面上只有一个二级极点-1，

因为支割线不能过孤立奇点，所以支割线可选为正实轴，且作以原点为圆心，R≥1为半径的圆CR.为了不让积分曲线绕支点0旋转，作以原点为圆心，r≤1为半径的圆Cr，允许支割线在积分路径上选取，积分曲线如图2所示，选择支割线上岸的复数角度为0，即argz=0.因为复变函数zlnz（1+z）2在图中的复连通区域上除了z0=-1之外解析，由留数定理得

∫CRzlnz（1+z）2dz+∫rRzlnz（1+z）2dz-∫Crzlnz（1+z）2dz

+∫Rrzlnz（1+z）2dz=2πiReszlnz（1+z）2，-1.

由于规定支割线上岸argz=0，所以arg（-1）=π，推出-1=eπ2i=i，ln（-1）=πi，

Reszlnz（1+z）2，-1=limz→-1（zlnz）′

=limz→-112zlnz+zz=12-1ln（-1）--1

=12iπi-i=π2-i，

所以2πiReszlnz（1+z）2，-1=2πiπ2-i=2π-π2i，

limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz≤limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2|dz|

≤limR→+∞RlnR（1+R）22πR=0limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz=0，

limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz≤limr→0∫Crzlnz（1+z）2|dz|

≤limr→0rlnr（1+r）22πr=0limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz=0.

在向量rR上，由于argz=0，所以z=x，

limR→+∞r→0∫Rrzlnz（1+z）2dz=∫+∞0xlnx（1+x）2dx，

在向量Rr上，由于argz=2π，所以z=xe2πi，

limR→+∞r→0∫rRzlnz（1+z）2dz=∫0+∞xe2πiln（xe2πi）（1+xe2πi）2d（xe2πi）

=∫0+∞xeπi（lnx+2πi）（1+x）2dx

=∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx∫+∞0xlnx（1+x）2dx+∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx

=2π-π2i，

所以∫+∞0xlnx（1+x）2dx=π.

由这个例子可以看出，当辅助函数为多值函数时，就要通过在支割线上限制辐角的办法，把复变函数在积分曲线上分解成单值解析分支，最后用留数定理加以解決.

三、结论

由上面两个例子可以看出，在将实积分的计算转化为复积分的计算时，要根据辅助函数是单值函数还是多值函数，合理地选择积分曲线路径，进而用留数定理加以解决.