基于Lebesgue积分意义下的积分中值定理

杨立星

【摘要】积分中值定理在高等数学的理论研究中占有非常重要的地位.本文中，首先给出了定理中的参数“ξ”可以存在于开区间的证明；此外，在Lebesgue积分意义下，给出了二重积分的积分中值定理的证明.

【关键词】Lebesgue积分；积分中值定理；介值定理

一、理论背景

在大多数高等数学教材中，定积分的积分中值定理如下：

定理1f（x）∈C（[a，b]），则ξ∈[a，b]，使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

在定理中，参数ξ∈[a，b]，利用微分中值定理，可将参数ξ缩小至开区间（a，b），有下面定理：

定理1′f（x）∈C（[a，b]），则ξ∈（a，b），使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

证明因为f（x）∈C（[a，b]），所以f（x）在区间[a，b]上存在原函数F（x），即F′（x）=f（x），且F（x）∈C（[a，b]）.

由Lagrange中值定理：存在ξ∈（a，b），使得

F（b）-F（a）=F′（ξ）（b-a）.

又因为∫baf（x）dx=F（b）-F（a），F′（ξ）=f（ξ），代入上式，则可得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

显然，此处ξ∈（a，b）.显然定理1′是定理1的改进.

此外，在一般数学分析教材中，积分中值定理叙述如下：若函数f（x）在[a，b]连续，函数g（x）在[a，b]可积且不变号，则ξ∈[a，b]，

∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx.

特别地，若g（x）≡1，则结论变成∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.利用介值定理，可得到参数ξ可缩减到开区间（a，b）.

二、Lebesgue积分意义的积分中值定理

类似地，我们有如下的二重积分中值定理：

定理2二元函数f（x，y）在有解闭区域D连续，二元函数g（x，y）在D上可积且不变号，则（ξ，η）∈D，使

Df（x，y）g（x，y）dxdy=f（ξ，η）Dg（x，y）dxdy.

眾所周知，Lebesgue积分是普通积分（Riemann积分）的推广，而Lebesgue积分具有Riemann积分的一些好的性质，下面定理给出了Lebesgue积分意义下的积分中值定理及其证明.

定理3设D是二维平面上一个连通的有界闭区域或有限个不相交的连通有界闭区域的并，且m（D）=0，f：DR2→R在D内具有介值性且Lebesgue可积；g：DR2→R在D Lebesgue可积，且g（x，y）≥0 a.e.于D，则（ξ，η）∈D·，使得∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

证明由介值性：m≤f（x，y）≤M，

又g（x，y）≥0 a.e.于D，所以

mg（x，y）≤f（x，y）g（x，y）≤Mg（x，y） a.e.于D.

所以，对上述不等式取Lebesgue积分：

m∫Dg（x，y）dσ≤∫Df（x，y）g（x，y）dσ≤M∫Dg（x，y）dσ.

（1）若∫Dg（x，y）dσ=0，有∫Df（x，y）g（x，y）dσ=0，此时，任取（ξ，η）∈D·结论成立.

（2）若∫Dg（x，y）dσ>0，设c0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，则m≤c0≤M.

当m

当c0=m或c0=M时，不妨假设c0=M，

因为g（x，y）≥0 a.e.于D，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）≤0 a.e.于D，

又因为c0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫D[f（x，y）-c0]g（x，y）dσ=0，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D.

设D=∪si=1Di，其中Di是彼此不相交的连通有界闭域，所以，∫Dg（x，y）dσ=∑si=1∫Dig（x，y）dσ>0.

所以，Di，使得∫Dig（x，y）dσ>0，所以存在可测的子集D*iDi，且m（D*i）>0，（x，y）∈D*i，有g（x，y）>0.又因为[f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D*i，所以f（x，y）-c0=0 a.e.于D*i，所以（ξ，η）∈D*iD·，使得f（ξ，η）-c0=0即f（ξ，η）=c0，f（ξ，η）=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

结论成立.

综上，定理得证.

三、实例

例如，f（x，y）=x+1，0≤x≤1，0≤y≤1，

-x+2，1

区域D为两个闭区域的并，函数f（x，y）在D上Lebesgue可积，所以（ξ，η）∈D·，使得

∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

事实上，∫Df（x，y）dσ=2，取（ξ，η）=0，12，显然，∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ=f0，12·D的面积.定理3成立.

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