邮资与时间的预测模型

梁素梅

【摘要】本文通过引入最简单的回归分析问题，把数学知识和实际问题相结合，把线性回归应用到邮资与时间的预测模型中，创造实际应用价值，并实施数学建模的具体步骤，加强学生数学建模思想.

【关键词】预测模型；线性回归

一、案例引入

为研究某国标准普通信件（质量不超过50克）的邮资与时间的关系，得到如下数据：

年份（年）19781981198419851987199119951997200120052008

邮资（分）68101315202225293233

试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2016年的邮资.

二、数学建模步骤

1.调查研究，弄清问题.在接到问题以后，首先要进行调查研究，弄清问题.这包括了解问题的来源和它的实际背景，认清问题的类型和相关知识，明确问题的要求，分析其中参变因素.如果其中某些重要因素只是定性的而非定量的，还要设法对其做定量化处理，将其数量化.

2.建立数学模型（Ⅰ）合理假设，简化问题.

分析问题中有关参变因素，分清主要因素与次要因素，抓住主要因素，略去次要因素，做出合理假设，将问题进行必要的简化，或逐次简化，使之变为一个比较容易解决的问题.

3.建立数学模型（Ⅱ）数学描述.

运用数学语言和数学方法——数学符号、数学式子、数学图表，来描述参变因素之间的数量关系，使之成为一个数学问题——“数学模型”，并不限于方程、不等式、函数关系、图或表，只要它是可以用数学方法进行研究和解决的问题形式，都在考虑的范围内.

4.求解数学模型.

用常规的、非常规的数学方法（包括计算机处理），对数学模型进行求解，得出问题的解答和解决方案.解答或解决方案，可以用数学式子、数据、数学图表或文字叙述等多种方式、方法来表示.

5.检验数学模型.

求得的数学模型的解答或解决方案，是对简化后的问题的一个理论上的答案.它是否与实际情况相符合，还需要进行实际检验.经过检验，如果与实际情况不相符合，就要对建模过程重新进行分析和修正——修改和补充假设，核对和修正数据，甚至变换思路，寻求另外的数学方法和途径等，以求建立更加切合实际的数学模型.

6.模型应用.

经过检验的数学模型，就可以在实际中应用了，在应用中如果又发现问题，还要对模型进行再修正，使之不断完善.

三、案例解答

1.先将实际问题量化，确定自变量x和因变量y.为方便计算，设起始年1978年为0，并用x表示，用y（單位：分）表示相应年份的信件的邮资，得到下表：

2.作散点图，确定变量之间近似函数关系，得到下图，观察得到的散点图可知，邮资与时间大致呈线性关系.设y与x之间的函数关系为y=ax+b，其中a，b为待定常数.

邮资与时间散点图

3.求待定常数项a，b.通过Excel相关功能的计算分别得到的值为a=0.961 8，b=5.898.

从而得到回归直线为y=0.961 8x+5.898.

4.在散点图中添加上述回归直线，见下图，经观察发现直线模型与散点图拟合得非常好，说明线性模型是合理的.

邮资与时间散点图与直线的拟合图

5.预测2016年的邮资，即x=38时y的取值.由拟合图可以得到x=38时，即预测2016年的邮资约为42分.

实际上，将x=34代入直线方程可得y≈42.

四、模型分析

经分析，问题所给邮资与时间的数据对之间大致呈线性关系，并且经回归分析所得到的回归曲线为一条直线，此类回归问题又称为线性回归问题，它是最简单的回归分析问题，但却具有广泛的实际应用价值，此外，许多更加复杂的非线性的回归问题，如，幂函数、指数函数与对数函数回归等都可以通过适当的变量替换化为线性回归问题来研究.

一般地，我们可按以下四个步骤进行回归分析：

1.将实际问题量化，确定自变量和因变量；

2.根据已知数据作散点图，大致确定拟合数据的函数类型；

3.通过软件（如，Excel等）计算，得到函数关系模型（在Matlab中直接调用函数polyfit（）和多项式函数y=p（1）.*x+p（2））；

4.利用回归分析建立的近似函数关系来预测指定点x处的y值.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）上册[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）上册[M].北京：高等教育出版社，2001：98-100.

[3]刘广军，杨春华，耿玉霞.高等数学教程[M].长春：吉林大学出版社，2010：42-43.