高考易错题自测卷——解析几何

江苏 尚建敏浙江 张永兵

高考易错题自测卷
——解析几何

江苏 尚建敏浙江 张永兵

一、选择题

1．经过点（2，－1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 （ ）

2．已知直线l1：x＋ay－1＝0，l2：a2x－y＋3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a的值是 （ ）

A．0 B．1

C．0或1 D．－1或1

3．以点（5，0），（0，5）为端点的线段的方程为 （ ）

A．x－y－5＝0

B．x＋y＋5＝0

C．x＋y－5＝0（0＜x＜5）

D．x＋y－5＝0（0≤x≤5）

4．过点（1，1）的直线与圆x2＋y2－4x－6y＋4＝0相交于A、B两点，则｜AB｜的最小值为 （ ）

5．已知F1、F2为两个定点，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，则动点P的轨迹是 （ ）

A．椭圆 B．圆

C．线段 D．不确定

A．4 B．12

C．16 D．48

8．设抛物线y2＝mx（m≠0）的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线方程为 （ ）

A．y2＝－8x

B．y2＝－16x

C．y2＝－8x或y2＝16x

D．y2＝8x或y2＝－16x

10．若动点M与两个定点A（3，0），B（－3，0）构成的三角形周长为16，则动点M的轨迹方程为 （ ）

二、填空题

12．等腰三角形的顶点A（－4，0），底边一个端点B的坐标为，则另一个端点P的轨迹方程为_______．

13．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则z＝y－x 的最大值和最小值分别为_______．

14．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为_____________．

15．双曲线x2－y2＝16的左焦点为F1，点P在双曲线上，若｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝________．

16．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m 的取值范围是_______．

18．过点（0，1）的直线且与抛物线y2＝2x仅有一个交点的直线方程为____________．

19．已知A是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B（点B在x轴上方），若｜AB｜＝2｜AF｜，则点A 的坐标为_______．

20．已知动圆M与圆C1：（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆C2：（x－4）2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．

【参考答案与提示】

2．C 【解析】因为l1⊥l2，所以a2－a＝0，解得a＝0或a＝1，故选C．

【易错警示】由斜率乘积等于－1得到a的值是－1，忽略了直线l1的斜率不存在的情况．

3．D 【解析】以点（5，0），（0，5）为端点的线段的方程为x＋y－5＝0（0≤x≤5）．

【易错警示】不注意线段与直线方程的区别．

【易错警示】不能区别弦长与弦心距，把求最小值当作求最大值．

5．D 【解析】依题意，①当｜F1F2｜＜10时，动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆；②当｜F1F2｜＝10，动点P的轨迹是线段｜F1F2｜；③｜F1F2｜＞10，动点P的轨迹不存在．故选D．

【易错警示】对椭圆的定义理解不透彻，误以为点P到两定点的距离之和为常数的点的轨迹一定是椭圆．

所以m＋n＝16，

解方程组

所以mn＝48，故选D．

7．C 【解析】①当椭圆的焦点在x轴上，因为a2＝2，b2＝m，所以c2＝2－m，

②当椭圆的焦点在y轴上，由题意得b2＝2，a2＝m，所以c2＝m－2，

【易错警示】由于2与m的大小关系不确定，椭圆的焦点可能在x轴或y轴上，需要分类讨论．

【易错警示】忽视m＜0的情况，注意：抛物线y2＝2px（p＞0）开口向右，抛物线y2＝－2px（p＞0）开口向左．

得（x－2）2＋（y－3）2＝4（1≤y≤3），如图所示，

10．C 【解析】因为A、B是两定点，｜AB｜＝6．

又三角形的周长为16，所以｜MA｜＋｜MB｜＝10．

其中2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3，

所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，

因此应去掉椭圆在x轴上的两个端点，

11．直线x＝1和射线x＋y－1＝0（x≥1） 【解析】由方程得或，则x＋y－1＝0（x≥1）或x－1＝0，故原方程的曲线表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0（x≥1）．

【易错警示】注意二次根式的被开方式应大于或等于0，所以求出的是曲线的一部分．

12．（x＋4）2＋y2＝36（x≠－10且x≠2） 【解析】根据题意，由等腰三角形的特征，设P（x，y），由PA＝AB，得，

则另一个端点P的轨迹方程（x＋4）2＋y2＝36．

因为△PAB必存在，所以P、A、B不共线，

所以x≠－10且x≠2，

故点P的轨迹方程（x＋4）2＋y2＝36（x≠－10且x≠2）．

【易错警示】因为△PAB必存在，所以P、A、B不共线，所以注意x的取值范围是x≠－10且x≠2．【解析】z看作是直线y＝ x＋z在y轴上的截距，当直线y＝x＋z与圆相切时，纵截距z取得最大值或最小值，此时，解得z＝或，所以z的最大值为，最小值为．

【易错警示】不理解z的几何意义，或用点到直线的距离公式时漏掉绝对值符号．

【易错警示】忽视焦点的位置，只求出一个方程．

因为｜PF1｜＝10，由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，

得｜PF2｜＝10－8＝2或｜PF2｜＝10＋8＝18．

所以｜PF2｜＝2或18．

【易错警示】对双曲线的定义理解出错，把｜｜PF1｜－｜PF2｜｜写成｜PF1｜－｜PF2｜只能求出一个结果．

16．［4，6］ 【解析】由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点，AB中点为原点，｜AB｜＝2m，则｜m－1｜≤，解得4≤m≤6，故m的取值范围是［4，6］．

【易错警示】漏掉不等式中的等号．

②当所求直线斜率k＝0时，直线为y＝1，平行于x轴，它正好与抛物线y2＝2x只有一个交点；

③当k≠0时，设所求的过点（0，1）的直线为y＝kx＋1，

【易错警示】忽视k＝0与斜率不存在的情形，对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”理解不透彻．

由

②若点A位于x轴下方，则此时点F（1，0）是线段AB的中点，

又点B的横坐标是－1，

【易错警示】忽视点A在x轴下方的情况，导致得到的答案不全面．

又C1（－4，0），C2（4，0），所以｜C1C2｜＝8，

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（－4，0），C2（4，0）为焦点的双曲线的右支．

所以b2＝c2－a2＝14，

【易错警示】不能区别｜｜MC1｜－｜MC2｜｜与｜MC1｜－｜MC2｜的含义；写方程时忽视了限制条件．

（作者单位：江苏省赣榆县海头高级中学，浙江省杭州市黄公望高级中学）