三道解析几何模拟试题的源与流
2017-08-08飞黑龙江
安 徽 阮 飞黑龙江 卢 军
三道解析几何模拟试题的源与流
安 徽 阮 飞黑龙江 卢 军
高三一学年同学们做了大量的试卷,可是常常感觉虽然做了很多试题,只要题目一变却又不会做了,所以经常出现“解几导数两茫茫,看分数,泪千行”的结果.如何做到触类旁通呢?笔者结合近期模拟试卷中的三道解析几何试题谈谈自己的看法,供大家参考.
一、问题的提出
解答一道题,首先要站在考生的角度,思考每一步是如何想到的;还要站在阅卷人考虑如何给分的角度,做到解答规范、书写美观.
(1)求椭圆C的方程;
【解析】(1)依题意可知
所以kOP、kOQ是方程的两个不相等实根,
【评注】用直线OP与直线OQ位置的对等性得出两形式完全相同的两个方程是本题解答的关键.
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系:d<r相交;d=r相切;d>r相离.
请读者思考第(2)问能否根据直线和圆的方程组的解判断直线和圆相切呢?
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的左焦点,求圆M的方程;
①求证:k1·k2为定值;
②求|OP|·|OQ|的最大值.
【解析】(1)椭圆C的左焦点是,
【评注】联立直线方程和圆方程,消去y(或x)所得方程的判别式等于零时,方程组有一组解,圆和直线相切.此问能使用题目1第(2)问的解法吗?请读者思考.
②由直线OP、OQ的斜率都存在知它们不落在坐标轴上,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
思路1:先证|OP|2+|OQ|2=20.
方法1:(此法使用了整体代换)
思路2:若未发现|OP|2+|OQ|2=20,由证明该结论的方法2可得:
(1)若M点在第一象限,且直线OP,OQ互相垂直,求圆M的方程;
(2)若直线OP,OQ的斜率存在,分别记为k1,k2,求k1·k2的值;
(3)试问|OP|2+|OQ|2是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.
②当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=36.综上,OP2+OQ2=36.
二、问题的源与流
解题后,首先要站在命题人的角度思考本题要考什么?背景是什么?还要站在教师的角度考虑这类题的一般解法有哪些?每种方法的适用条件是什么?解题由第一阶段的一题多解升华到多题一解,找到通性通法.
当且仅当时取等号,即M点在y轴上时取等号,
著名天文学家、数学家开普勒说过:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中,它应该是最不容易忽视的.”将一个问题类比到与它相似的另一个问题中,进行两者有意识的结合,进而能揭示出某类数学问题更一般的规律.
(作者单位:安徽省太和县太和中学,黑龙江省绥化市第九中学)