坐标系与参数方程的命题特点及解法

宁夏 张 兴 李雪琴

坐标系与参数方程的命题特点及解法

宁夏 张 兴 李雪琴

坐标法思想是近代数学发展的开端，坐标系是用代数方法处理几何问题的基本工具．参数方程是以参变量为中介表示曲线方程的又一种形式，是解决曲线方程的一种思路和方式，所以坐标系与参数方程的学习，是提高学生解决数学问题能力，提升学生综合数学素养的重要途径，因此成为高考数学的必考内容，下面就该部分高考试题的命题特点及其解答方法进行探究．

一、高考试题的命题特点

从2007年到2016年新课标高考共15套数学试题，其中关于极坐标与参数方程的有15道考题．它们的相同之处都涉及坐标变换，即直角坐标系方程、极坐标方程、参数方程之间的互相转化．它们的不同之处，按已知曲线化分：第一类，直线和圆位置关系的有10道．其中包括直线和圆相离时的点线距离问题，直线和圆相交时的弦长问题，直线和圆相切时的切点问题．第二类，直线与椭圆共2道．第三类，圆及椭圆位置关系共3道．从统计数字上看以直线和圆位置关系为主．按所求问题划分：第一类，有关交点坐标、线段长度和图形面积，共5道．第二类，有关距离、范围或最值问题，共8道．第三类，有关点的轨迹、曲线方程，共2道．从统计数字上看以有关距离、范围或最值计算问题为主．

二、高考试题的题型解析

高考试题按解答方法划分：第一类，极坐标中的运算．第二类，参数方程中任意点或动点问题．第三类，直线与圆锥曲线相交问题．第四类，点的坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等的计算．

1．极坐标中的运算

【例1】（2015·新课标Ⅰ理·23）直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1、C2的极坐标方程．

（1）说明C1是何种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝θ0，其中θ0满足tanθ0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

【评析】上面例1、例2的第一问均为极坐标与直角坐标的互相转化．解答这个问题时需要注意：（1）将点的直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式，tanθ＝．在［0，2π）范围内，由）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ（k∈Z）即可．（2）将极坐标点（ρ，θ）化为直角坐标点（x，y），直接运用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ计算．（3）直角坐标方程化为极坐标方程时，直接运用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代换并化简．（4）极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘（或除以）ρ等技巧．第二问为极坐标系中的有关运算．解答方法一结合图像进行计算，如例1．解答方法二化为直角坐标再运算，如例2．

2．任意点或动点用参数方程

（1）化C1，C2为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

【解析】（1）消去参数，已知方程可化为：

其中C1为圆心是（－4，3），半径是1的圆．

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

【评析】上面例3的第一问为参数方程化为普通方程．解答这类题需注意：（1）要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定x和y的取值范围．（2）消去参数通常有代入消元法、加减消元法、平方消元法、乘除消元法和三角消元法等．第二问为求最值或取值范围．解答这类题需要把曲线方程化为参数形式，以参数方程形式表示点的坐标，既可以减少约束条件而简化运算，又能利用特殊的三角变换进行计算．

3．直线与圆锥曲线相交问题

【例4】（2016·新课标Ⅱ理·23）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25．

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

【解析】（1）化简、整理圆的方程得x2＋y2＋12＋11＝0，

【解析】（1）ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ．①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，

即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．②

则由参数t的几何意义即知，｜MA｜·｜MB｜＝｜t1t2｜＝18．

4．求点坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等的计算．

（2）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

（2）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0．A点坐标为（sin2α－cosαsinα），

（α为参数）M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2．

（1）求C2的方程；

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．

【评析】上面例6为求点的坐标和轨迹方程，例7为求线段长度和轨迹方程．2015年新课标Ⅰ卷23题为求面积．这类问题虽然差别很大，但其解答的基本方法依然是几种坐标的互化，再结合图象进行计算．

综上所述，坐标系与参数方程的命题，以直线与圆的位置关系为主，突出极坐标方程、直角坐标非常和参数方程的转化，呈现为四大趋势，即极坐标中的运算，参数方程中任意点或动点问题，直线与圆锥曲线相交问题，交点坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等基本数学问题．通过解题理解坐标系的作用，掌握几种坐标方程的转化，提高数学应用意识和解决问题的能力．体现数学的科学价值、应用价值和文化价值，更重要的是提升学生的综合数学素养．

（作者单位：宁夏回族自治区固原市第二中学，宁夏回族自治区固原市回民中学）