终端约束末制导律综述

赵 曜 廖选平 迟学谦 宋少倩 刘向东

1.中国运载火箭技术研究院，北京100076 2.北京理工大学, 北京 100081



终端约束末制导律综述

赵 曜1廖选平1迟学谦1宋少倩1刘向东2

1.中国运载火箭技术研究院，北京100076 2.北京理工大学, 北京 100081

末制导的首要任务是实现最小的脱靶量。在现代制导律设计中，碰撞角、碰撞时间和碰撞速度等终端约束对于末制导任务也非常重要。本文重点针对不同终端约束条件对末制导律的研究现状进行综述，并探讨了现有方法的优势及不足之处，以期为末制导律设计及其相关问题研究提供参考。 关键词 末制导；综述；终端约束

传统末制导技术的主要目的是产生合适的制导指令，使导弹获得最小的末端脱靶量。随着科技的日新月异，新型的末制导技术正向全天候、全天时以及复杂环境下的高精度打击方向发展。此外，在精确命中目标的前提下，现代军事应用对末制导技术还提出了一些新的终端要求，其中备受关注的是碰撞角度要求、碰撞时间要求以及碰撞速度要求[1-4]。

碰撞角度约束的需求来自于增强碰撞的毁伤效果[4]。例如，对于钻地弹，希望末端的碰撞角接近90°，以实现纵深穿透打击；相似的，对于反坦克导弹，希望导弹对坦克顶部的薄弱装甲垂直攻击。因此，为增强对地面目标打击精度并使附加损害降到最小，垂直打击是较为理想的一种攻击方式。然而由于所针对的目标属性以及外部环境不同，垂直打击方式并非对所有的任务都适用。例如，对于反弹道导弹，希望导弹对目标实现迎头打击，以有效摧毁目标弹头；对于攻击水坝，希望导弹从无水的那一侧对水坝进行打击，以减小动能损失。

对于某些特定情况，仅满足碰撞角约束是不够的，还需满足碰撞时间约束[5]。以反舰导弹攻击现代舰船为例，现代舰船通常配备多种自我防御系统，例如地对空导弹系统，电子对抗系统以及近战武器系统。这些防御系统都给反舰导弹成功摧毁舰船增加了难度。对于该问题的一种解决途径是协同打击[6]，即通过控制导弹的飞行时间来保证数颗导弹同时击中目标舰船。通过这种方式，可使舰船的自我防御系统达到瞬间饱和，无法对所有导弹进行拦截，从而大大提高了摧毁目标的可能性。

对末制导而言，对终端的飞行速度控制也非常重要[4]。这是因为如果碰撞速度过小，不但容易被敌方防御系统拦截，而且会大大降低打击的毁伤效果。但是如果终端速度过大，又可能会违反飞行中的路径约束，例如：热流约束和动压约束等。因此，设计相应制导律使飞行器以期望的末速对目标进行打击，对于飞行器自身的飞行安全和实际毁伤效果都有重要意义。

综上所述，制导系统是导弹的大脑，它直接决定着飞行任务的成功与否。作为制导技术的一个重要分支，精确制导技术在近几十年来发展迅速，给现代军事带来了革命性的变革。而末制导作为精确制导的技术核心，正是保证其精度的关键所在。末制导律在设计时不仅需要考虑导弹模型的非线性、时变和不确定性等特点，还要解决在复杂多变环境下的精确打击问题。这就要求制导系统具有精度高、响应速度快、鲁棒性和适应性强等特点。此外，作战样式的变革以及作战任务的多样化也为末制导律的设计提出了更多终端指标要求。这些要求虽然给末制导律设计带来了新挑战，但同时也为精确制导技术的进一步发展和应用带来了机遇。本文对末制导律的研究现状进行了综述，并探讨现有方法的优势及其不足之处，以期为末制导及其相关问题研究提供参照。

1 仅约束终端脱靶量的制导律

制导技术发展初期，对制导律的性能评价只限于它能否导引导弹对目标进行精确打击，也就是实现末端零脱靶量。基于该指标要求，国内外学者对末制导技术进行了深入研究，这些研究主要是基于比例制导以及最优控制、微分对策、滑模控制和有限时间控制等理论。

1.1 比例制导律

比例制导是整个制导过程中，导弹速度矢量的旋转角速度与弹目连线的旋转角速度成特定比例的一种制导方法。该方法信息需求量小，导引弹道前段较为弯曲，后段较为平直，使导弹在接近目标时有比较充裕的机动能力。按照制导指令加速度作用方向的不同，可以将比例制导分为以下3类[7]：1)导弹速度矢量方向作为参考基准，例如纯比例制导(PPN)；2)以弹目视线方向为参考基准，例如真比例制导(TPN)、广义比例制导(GPN)等；3)以弹目相对速度方向为参考基准，例如理想比例制导(IPN)。由于比例制导的工程适用性，它受到了国内外学者的广泛关注，得到了充分研究[8-20]。

文献[8]对比例制导的基本原理进行了较为详尽的阐述。Guelman对PPN的性质进行了较为深入的研究，分别探讨了PPN对非机动目标和机动目标的拦击性能[9-10]，并指出当导弹的初始飞行状态满足线性化条件时，PPN的性能近于最优[11]。在文献[12]中，陆平进一步证明了即使在非线性情况下，只要将比例系数选择为3，PPN近似等价于最优制导律。文献[13]利用准线性化方法推导了PPN在目标机动情况下的精确解。Ghaw等[14]进一步在时变目标机动的情况下对PPN捕获能力进行了定性分析，得到了PPN更适合拦截非机动目标的结论。文献[15-16]对TPN进行了系统研究，探讨了其闭环解析解以及对机动和非机动目标的拦截性能。GPN是在TPN指令的基础上增加了修正项，从而对目标机动进行了有效补偿[17-19]。因此，可以将GPN视为一种改进的TPN方法。IPN的指令方向与弹目相对速度矢量方向垂直，不断修正相对速度的方向，使其最终与弹目视线方向重合[20]。然而该方法需要实时准确地获取目标速度信息，给实际应用带来了困难，因此在工程中应用较少。

1.2 最优制导律

二十世纪中后期，现代控制理论十分流行，人们逐渐将最优控制理论应用到了制导律设计中。Nazaroff[21]利用最优控制理论设计了一种与比例制导较为类似的末制导律，并引入了附加项以对目标机动等未知信息进行补偿；Stockum等[22]研究了一类近距离寻的情况下的最优与次优制导律；韩京清[23]研究了一种基于“L曲面”的最优制导律；胡建和等[24]结合自适应控制与卡尔曼滤波理论设计了一种适用于地-空导弹的自适应最优制导律；Kumar等[25]进一步研究了三维空间的制导问题，得到了一种近似最优的三维制导律。最优制导律的形式较为复杂，且需要精确知道目标加速度、弹目相对距离以及弹目相对速度等信息。虽然在上述信息精确已知的情况下最优制导律能实现零脱靶量，但在实际应用中这点很难做到，这为最优制导律的工程应用带来了困难[26]。

1.3 微分对策制导律

虽然目标的运动情况通常是未知的，而通过将最优控制与微分对策相结合，可以把导弹对目标的拦截问题转化为研究双方最优策略的问题[27]。文献[28]总结了微分对策制导律的研究现状，并展望了其发展方向。相比于最优制导律，微分对策制导律是一种真正的弹目双方动态控制。该类制导律的优势在于仅需了解目标最大机动能力，而不需要获得目标机动加速度的详细信息。因而在打击机动目标的问题上，微分对策制导律比最优制导律有更强的鲁棒性[29]。然而应用微分对策设计制导律时需要求解两点边值问题，很难得到解析的制导律。此外，微分对策制导律是基于标称系统模型设计的，实际系统中存在未知扰动和未建模动态，对制导律的性能造成影响。因此，微分对策制导律在实际应用中存在一定局限性。

1.4 滑模制导律

作为一类典型的变结构控制，滑模控制是一种应用广泛的非线性控制方法[30]，它具有以下重要优点[31]：1)对参数摄动的不敏感性；2)对外部扰动的抵抗性；3)快速的动态响应特性。自Brierley等人[32]首次将滑模控制理论应用于制导律设计中，滑模控制方法在该技术领域得到了快速发展和广泛应用。Zhou等人基于非线性二维弹目相对运动学模型，利用滑模控制理论设计了一种适用于拦截高速机动目标的末制导律[33]。该方法将目标的加速度视为干扰量，制导律设计时只需要知道目标机动能力的上界，因此无需了解目标加速的确切信息。文献[34]进一步给出了三维平面内的滑模制导律形式，并对滑模变结构制导律的鲁棒性给出了严格的证明。Moon等人利用滑模变结构控制理论设计了对弹目视线径向和法向均进行控制的末制导律，并与传统的比例制导律的性能进行了对比分析[35]。

滑模控制律通常由2部分组成：等效控制项和切换函数项，后者会使控制量产生抖振，从而给滑模控制的实际应用带来阻碍。制导系统产生的过载(或姿态角)指令是为姿态控制系统提供需要跟踪的参考指令，因此制导指令越平滑越好。这也说明在实际应用中，必须削弱滑模控制的抖振现象。常见的消抖方法有边界层技术[36]，与智能控制理论相结合的智能滑模技术[37-38]，以及高阶滑模技术[39]等。文献[40]采用了智能滑模控制方法设计了拦截制导律，探讨了相应的模糊逻辑规则的建立及自适应策略的稳定性。Shtessel等[41-42]提出了一种平滑二阶滑模制导律，该方法有效的减弱了抖振，并降低了控制量峰值。为了进一步减弱抖振，文献[43]提出了将观测器技术引入制导律设计，利用观测器估计目标加速度，进而在制导律中对其进行有效补偿。Marks等[44]进一步将状态观测器技术与高阶滑模技术相结合设计了末制导律，并分析了2种方法结合对制导律拦截性能的积极影响。对于滑模制导律的研究，其他很多国内外学者也提出了自己独到的见解，在此不再列举，可参考文献[45]。

1.5 有限时间收敛制导律

相比于渐进收敛控制律，有限时间控制律能提供更优越的控制性能，因此在末制导技术领域，有限时间控制律得到了广泛应用。孙胜等[46]针对机动目标拦截问题，提出了有限时间收敛的变结构导引律。由于切换项的存在，控制量会出现抖振现象，文中虽然利用连续开关函数进行了光滑处理，制导精度也因此降低了。丁世宏等[47]基于连续有限时间控制理论，设计了连续有限时间制导律。由于该制导律形式上是连续的状态反馈，因此不会引起系统抖振，控制精度也得到了提高。赵海斌等[48]进一步将有限时间控制方法与模糊控制理论相结合，得到了改进的有限时间收敛制导律。制导参数由模糊控制律自适应调节，有效地提高了系统的收敛速度。乌日娜等[49]针对非机动目标，设计了非线性三维制导律，并估计了打击时间的范围，确保导弹在有限时间内对目标实现零脱靶量打击。为了避免控制饱和对制导系统性能造成不良影响，郭杨等[50]基于有限时间控制理论提出了一种抗饱和的制导律设计方法。在该制导律作用下，视线角速率会在有限时间内趋近于0，且制导指令不会超过物理限制。文献[51]在制导律设计时考虑了自动驾驶仪的延迟特性，通过利用反步法实现了视线角速率的有限时间收敛，并引入积分因子提高制导系统对目标机动的鲁棒性。

2 带碰撞角约束的制导律

末制导段的主要目标是使导弹最终精确命中目标。然而在现代军事应用中，仅仅实现末端零脱靶量并不能保证任务的圆满完成。在某些特定情况下，为了增强直接打击的毁伤效果或发挥导弹所携弹头的最大杀伤能力，需要导弹从指定方向、以特定姿态对目标进行打击，因而产生了带碰撞角度约束的制导问题[52]。针对这一问题，国内外学者在过去的几十年里进行了大量研究，取得了丰硕的成果。

2.1 改进的比例制导方法

由于形式简单、所需的信息量少，比例制导在实际工程领域得到了广泛应用[53-54]。然而传统的比例制导方法只能实现末端脱靶量为0，对于碰撞角约束需求无法满足。为了解决上述问题，学者们提出了多种改进的比例制导方法[55-59]。其中一种较为典型的方法是偏置的比例制导，它是在传统比例制导律的基础上添加一个时变偏置项以消除碰撞角误差[55-56]。然而，偏置的比例制导在对目标进行追尾打击时性能会急剧下降[59]。另一种改进的比例制导方法是通过在线更新比例系数得到的。文献[57]针对高超声速滑翔飞行器打击地面静止目标提出了一种自适应三维末制导律，该制导律的比例系数以特定的闭环形式连续更新，使导弹的弹道倾角和偏角末值均满足期望要求。然而在初始大指向误差的情况下，文献[57]中的方法会给制导初段带来巨大的诱导阻力，并导致较长的飞行时间。为了解决该问题，Rantoo等[58]在制导初始段设计了一种定向制导，该制导律也是比例系数随时间变化的比例制导。文献[59]进一步扩展了该方法，使其能打击常值速度目标。

2.2 基于滑模控制的制导方法

近年来，滑模控制方法也逐渐被应用来解决带碰撞角约束的末制导问题。Lee等[60]利用高性能滑模控制理论设计了带碰撞角约束的末制导律。该制导指令将会在碰撞时刻收敛为0，为制导系统在寻的末段提供了较大的抗干扰裕度。文献[61]利用了滑模面有限时间可达的特点，结合反步法设计了末制导律，保证了碰撞角在最后时刻达到期望值。文献[60-61]所提出的制导律都是针对静止或缓慢移动的目标。Zhao等[62]针对不机动目标利用自适应时变滑模控制技术设计了带碰撞角约束的制导律。基于积分滑模控制理论和非线性扰动观测器技术，Zhang等[63-64]进一步考虑了带有自动驾驶仪滞后特性的末制导律设计问题。由于碰撞角有限时间收敛对于制导的实际应用有着重要意义，因此，Zhang等[65]基于终端滑模控制方法设计了一种碰撞角有限时间收敛的末制导律。值得注意的是，在文献[63-65]中，碰撞角被定义为视线角，然而就增强毁伤效果而言，碰撞时刻导弹和目标速度矢量之间的夹角是碰撞角定义的一个更佳选择[66-69]。基于这种碰撞角定义，文献[66]利用终端滑模控制技术设计了一种能实现全向打击的末制导律。该制导律对静止目标、常值速度目标以及机动目标均适用。Rao等[67]设计了2个滑模面并给出了相应滑模面间的切换策略，从而也实现了对目标的全向打击。但这2种制导方法均存在控制奇异问题，容易引起过载指令饱和。为了克服这一缺陷，文献[68]进一步将非奇异终端滑模控制理论应用于带碰撞角约束的制导律设计中。但文献[66-68]所设计的滑模面中包含目标的加速度信息，因此，目标加速度对这些制导律的性能具有重要影响。然而，在上述文献中并未提及如何获得相应的目标加速度信息。为了解决该问题，文献[69]结合了终端滑模控制和扩张状态观测器技术进行了制导律设计，其中目标加速度信息由状态观测器估计得到。

目前，在脱靶量约束与碰撞角约束的末制导律研究领域已经取得了较为丰富的理论成果，如何扩展其在工程领域的应用是未来的重点研究方向。

3 带碰撞时间约束的制导律

近年来，武器防御系统的建立和完善为飞行器成功对目标进行打击带来了严峻的考验。为了突破武器防御系统的拦截，一种有效的方式是利用多枚导弹对目标进行协同攻击，从而使目标的防御系统趋于瞬时饱和。为了实现导弹协同攻击，就需要制导律对导弹的飞行时间进行控制，这样就产生了带碰撞时间约束的制导问题。为解决该问题，国内外学者们提出了2种不同的制导策略：1)旨在消除多枚导弹之间的飞行时间误差，使其剩余飞行时间趋于一致；2)直接控制单个导弹的飞行时间，使该导弹在期望的时间打击目标。策略1)需要导弹之间进行信息交互，了解其他导弹的即时飞行状态，这就需要弹上装载相应的测量元件，增加了系统设计的复杂性。此外，策略1)只能使得导弹同时打击目标，而对具体的打击时间无法控制。因此，相较之下，策略2)比策略1)拥有更加广阔的应用前景。

带碰撞时间约束的制导概念是Jeon等人[70]在2006年提出的，它是末制导领域一个较新的研究方向。接下来将对该方向的一些较为典型的研究成果进行论述。

3.1 基于第1种策略的制导方法

Zhao等[71]在Jeon等人[70]研究的基础上结合分层协调算法进一步设计了制导律，实现了对目标的协同打击。王晓芳等[72]研究了一种2段组合式协同制导策略，在第1段实现弹目距离协同，在第2段实现视线角速率收敛。张友安等[73]提出了一种领弹-被领弹的制导策略，通过调整被领弹的运动状态使其逼近领弹的运动状态，从而实现协同打击。马国欣等[74]对张友安[73]的方法进行了扩展研究，使其能应对三维空间的协同打击问题。 Jeon等[75]探讨了一种协同比例制导策略，该方法结构上与传统的比例制导一致，只是其比例系数是根据剩余飞行时间来变化的，因此该制导律的性能与剩余飞行时间的估计精度有直接的关系。

3.2 基于第2种策略的制导方法

Jeon等人[70]是该领域研究的先驱者，他们通过在比例制导律中添加一个偏置项以消除碰撞时间误差。在碰撞时间误差消除后，该制导律退化为传统比例制导律。Zhao等人[76]引入了虚拟领弹的概念并由此将碰撞时间约束转化成状态跟踪问题，该制导律在结构上也是比例制导加上含有碰撞时间误差的反馈项。马国欣等人[77]研究了一种综合考虑碰撞时间约束及导引头视场限制的末制导律，并通过预测碰撞点解决了打击移动目标的问题。然而，该工作是建立在目标机动精确已知的前提下，这在实际应用中难以实现。张友安等[78]探讨了三维空间带碰撞时间约束的制导问题，其制导策略是俯仰通道采用增广比例制导，偏航通道利用动态逆方法设计以满足碰撞时间要求。Kumar等人[79]研究了基于滑模控制方法的碰撞时间约束制导律，该制导律的设计需要利用剩余飞行时间信息。其仿真结果表明较为准确的剩余时间估计方法能有效提升制导律的性能。

3.3 目前研究中存在的问题及后续研究方向

目前，对于碰撞时间约束制导律的研究成果均是基于常值飞行速度假设提出的，而实际飞行中很难保证导弹速度为常值，因此目前的研究成果很难直接应用到工程技术领域。在后续研究中需将导弹速度变化考虑在内，设计出适应能力更强的碰撞时间约束制导律。

4 带碰撞角和碰撞时间约束的制导律

带碰撞角约束的制导律能使导弹以期望的角度对目标的薄弱环节进行打击，以增强对目标的杀伤力；带碰撞时间约束的制导律能控制导弹的飞行时间，从而实现多枚导弹对目标的协同打击。因此，设计的制导律若能兼顾两者的优势，就能发挥更大的作战效能。为了实现这个目标，学者们进行了同时约束碰撞角和碰撞时间的制导律研究。

Lee等人[80]首次对该类制导问题进行了研究，将导弹加速度的导数作为控制量设计了制导律。该制导律由2部分组成：1)反馈控制律，用来控制碰撞角；2)偏置项，用来控制碰撞时间。Zhang等人[81]改进了偏置的比例制导，通过在比例制导律的基础上增加2个偏置项，实现了对碰撞角和碰撞时间的同时约束。Kim等人[82]研究了一类增广的拟合制导律，该制导律含有3个待定参数，其中1个用以实现碰撞时间约束，另外2个用以满足末端碰撞角需求。值得注意的是，以上针对带碰撞角和碰撞时间约束的制导律研究均利用了小角度线性化方法，文献[83-85]基于非线性运动学模型对该制导问题进行了研究。Harl等[83]研究了基于滑模控制理论的带碰撞角和碰撞时间约束的制导方法。首先通过优化方法对视线角速率进行整形，得到满足期望约束条件的视线角剖面，然后利用滑模控制方法对该剖面进行跟踪。Arita等人[84]提出了一种同时控制碰撞角和碰撞时间的最优制导律，然而该制导律需要实时解算两点边值问题，给制导律的在线求解造成了困难。方研等人[85]利用高斯伪谱法将末端多约束制导问题转化为非线性规划问题，并利用预测控制思想实现了制导律的设计。然而该方法同样需要在线求解最优控制问题，计算速度和计算精度之间很难进行折衷权衡。

5 带碰撞角和碰撞速度约束的制导律

在末制导阶段，还需要对飞行器的末速进行控制，原因如下： 1)如果末速过大，会违反动压、热流等约束条件，对飞行器安全造成威胁； 2)如果末速过小，会降低碰撞的毁伤效果且容易被敌方防御系统拦截。

如第2节所述，在带碰撞角约束制导律研究领域已经取得了较为丰富的成果，然而针对带碰撞速度约束制导律的研究却非常稀少。目前在该领域已发表的成果主要集中在文献[4,86-88]之中。陈万春等人[86]提出一种能约束末速的空地导弹投放下滑段制导律，该方法不但能满足末端多约束条件，还具有较强的任务适应能力。然而，该制导策略是在飞行器升阻比变化不大的前提下推得的，因此，并不适用于带碰撞角和速度约束的末制导律设计。赵汉元[4]针对再入机动弹头提出了一种落速大小的控制方法。该方法的思路如下：首先设计一条理想的速度曲线，然后通过引入附加攻角使实际飞行速度尽量靠近理想速度曲线，从而实现末速控制。谢道成等人[87]进一步考虑了攻击角度约束，得到了带碰撞角度和碰撞速度约束的制导律。然而该制导方法控制精度不高，特别是在存在状态误差和外界扰动的情况下，末端的碰撞角和碰撞速度与期望值之间存在较大偏差。Yu等人[88]基于轨迹整形方法提出了一种带有末速控制的末制导律，该制导律能控制飞行器从接近垂直的方向以期望的末速对地面固定目标进行打击，并能保证碰撞时刻过载接近于0。该制导律对风扰，大气密度摄动有一定的鲁棒性，并且有较高的终端精度。然而，该制导策略只能保证飞行器以接近垂直的角度对目标进行打击，无法控制末端航迹偏角。

现阶段碰撞速度约束制导律研究成果只能实现速度的开环控制，实际工程应用中落速大小受模型误差与外界扰动影响较大。后续需要进一步研究碰撞速度的闭环控制方法，并尽量避免采用制导参数在线优化等弹上难以实现的制导算法。

6 末制导律工程应用情况

目前，在末制导工程技术领域普遍采用比例导引律及其改进形式。以对地导弹为例，弹上多采用带有落角约束的最优比例导引律[4]。该导引律不仅能控制导弹以特定的角度命中目标，还能实现控制能量最优。由于比例导引已通过大量工程实践考验且取得了较好的制导效果，在一段时间内，这种以比例导引为基础的制导律还会得到进一步的发展和应用。

需要指出的是，目前末制导工程技术领域仅能实现对导弹落点和碰撞角的闭环控制，对碰撞时间和碰撞速度尚未找到有效的闭环控制方法。这是因为碰撞时间与碰撞速度约束的实现涉及到导弹动力学优化等复杂问题，弹上实现难度大，并且目前这方面的国内外研究成果均是基于大量假设推导到的，尚不具备与工程接轨的条件。在某些特定工况下(如导引头工作需要)，必须将导弹的落速约束在一定范围内。针对这类问题，工程中采用以下解决方法：首先，针对导弹末制导段不同的初始能量设计满足落速需求的制导参数组合；然后根据飞行中实际情况插值得到需要的制导参数。该方法的缺陷是落速为开环控制，不能实现对落速的精确控制。

7 总结与展望

信息技术的飞速发展推动了末制导技术的不断革新，使其应用范围不断扩大，作战效果也大幅提升。本文对末制导的终端约束条件进行了分类，综述了不同终端约束条件下末制导律的国内外研究现状。

从现阶段研究成果来看，在终端脱靶量和碰撞角约束的末制导律方面已经取得了较为深入的研究成果，特别是比例导引法已经在工程领域得到了成熟应用。未来的打击目标将向高速和大机动能力方向发展，并可施加各种干扰手段，为了应对这种发展趋势，末制导律在工程领域的研究应突破传统框架，在应用上实现新飞跃。

对于碰撞时间约束和碰撞速度约束的制导律研究尚处于理论研究阶段，成果较少。如何在工程领域实现这些终端约束是末制导领域未来的重要研究方向。

[1] 路建伟, 庄志洪, 张清泰. 一种适合于反坦克导弹的最优击顶制导律[J]. 兵工学报, 1999, 20(2): 179-181. (Lu Jianwei, Zhuang Zhihong, Zhang Qingtai. An Optimum Law of Overhead-attack Guidance for Anti-tank Missiles[J].Acta Armamentarii,1999, 20(2): 179-181.)

[2] 刘丹, 祁载康. 限制导弹落角和落点的最优制导律[J]. 北京理工大学学报, 2001, 21(3): 278-281. (Liu Dan, Qi Zaikang. Impact Angle and Final Position Constrained Optimal Guidance Law[J]. Journal of Beijing Institute of Technology, 2001, 21(3): 278-281.)

[3] Zhang Youan, Zhang Yougen, Li Heng. Impact Time and Impact angle Control Aased on CCC Path Planning[C]. Proceedings of the 31th Chinese Control Conference, Hefei, China, 2012: 4300-4305.

[4] 赵汉元. 飞行器再入动力学与制导[M]. 长沙: 国防科技大学出版社, 1997. (Zhao Hanyuan. Vehicle Reentry Dynamics and Guidance[M]. Changsha: Press of National University of Defense Technology, 1997.)

[5] 张友安, 张友根. 多导弹攻击时间与攻击角度两阶段制导[J]. 吉林大学学报(工学版), 2010, 40(5): 1442-1447. (Zhang Youan, Zhang Yougen. Two Stages Guidance to Control Impact Time and Impact Angle for Multi-missiles[J]. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition), 2010, 40(5): 1442-1447.)

[6] 吴鹏, 宋文龙. 基于飞行时间估计带时间约束的末制导律设计[J]. 自动化技术与应用, 2012, 31(3): 19-23. (Wu Peng, Song Wenlong. Terminal Guidance Design for Missile with Impact Time Constraint Based on Time-to-go Estimation[J]. Techniques of Automation & Applications, 2012, 31(3): 19-23.)

[7] 孙胜, 张华明, 周荻. 末端导引律综述[J]. 航天控制, 2012, 30(1): 86-96. (Sun Sheng, Zhang Huaming, Zhou Di. A Survey of Terminal Guidance Law[J]. Aerospace Control, 2012, 30(1): 86-96.)

[8] Murtaugh S A, Criel H E. Fundamentals of Proportional Navigation[J]. IEEE Spectrun, 1966, 3(5): 75-85.

[9] Guelman M. A Qualitative Study of Proportional Navigation[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1971, 7(4): 637-643.

[10] Guelman M. Proportional Navigation with a Maneuvering Target[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1972, 8(3): 364-371.

[11] Guelman M. Optimal Guidance Law in the Plane[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1984, 7(3): 471-476.

[12] Lu P, Chavez FR. Nonlinear Optimal Guidance[C]. Proceedings of AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Keystone, Colorado America, AIAA 2006-6079.

[13] Mahapatra P R, Shukla U S. Accurate Solution of Pure Proportional Navigation for Maneuvering Targets[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1989, 25(1): 81-89.

[14] Ghaw S N, Ghose D. Pure Proportional Navigation Against Time-varying Target Maneuvers[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1996, 32(3): 1336-1346.

[15] Guelman M. The Closed-form Solution of True Proportional Navigation[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1976, 12(4): 472-482.

[16] Yuan P J, Chern J S. Solution of True Proportional Navigation for Maneuvering and Nonmaneuvering Target[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, 15(1): 268-271.

[17] Yuan P J. Closed-form Solution of Generalized Proportional Navigation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1993, 16(4): 963-965.

[18] Yuan P J, Sun S S. Solution of Generalized Proportional Navigation with Maneuvering and Nonmaneuvering Target[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1995, 31(7): 469-474.

[19] Vathsal S, Rao M N. Analysis of Generalized Guidance Laws for Homing Missiles[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1995, 31(2): 514-521.

[20] Yuan P J, Chern J. Ideal Proportional Navigation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, 15(4): 1161-1165.

[21] Nazaroff J G. An Optimal Terminal Guidance Law[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1976, 21(1): 407-408.

[22] Stockum L A, Weimer F C. Optimal and Suboptimal Guidance for a Short Range Homing Missile[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1976, 3(4): 355-360.

[23] 韩京清. 最优导引律[J]. 航空学报, 1987, 29(3): 76-79. (Han Jingqing. Optimal Guidance Law[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 1987, 29(3): 76-79.)

[24] 胡建和, 李忠应. 地-空导弹自适应最优制导律初探[J]. 北京航空航天大学学报, 1991, 17(3): 101-110. (Hu Jianhe, Li Zhongying. A Study on Remote Missile Adaptive Optimal Guidance Law[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 1991, 17(3): 101-110.)

[25] Kumar R R, Seyward H, Cliff E M. Near Optimal Three Dimensional Air-to-air missile Guidance Against Maneuvering Target[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1995, 18(3): 457-464.

[26] Nesline F W, Zarchan P. A New Look at Classical vs Modern Homing Missile Guidance[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1981, 4(1): 78-85.

[27] 孙胜. 有限时间收敛寻的导引律[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2010. (Sun Sheng. Guidance Laws with Finite Time Convergence for Homing Missiles[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2010.)

[28] 周卿吉, 许诚, 周文松, 等. 微分对策制导律研究的现状及展望[J]. 系统工程与电子技术,1997, 19(1): 40-45. (Zhou Qingji, Xu Cheng, Zhou Wenson. et al. Status and Prospects of the Development of DGGL[J]. Systems Engineering and Electronics. 1997, 19(1): 40-45.)

[29] 张运喜. 有限时间收敛滑模制导律研究[D]. 天津: 南开大学, 2013. (Zhang Yunxi. Research on Finite-time Convergent Sliding-mode Guidance Law[D]. Tianjin: Nankai University )

[30] Utkin V. Variable Structure Systems with Sliding Modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1977, 22(2): 212-222.

[31] Cong B L, Liu X D, Chen Z. Disturbance Observer Based Time-varying Sliding Mode Control for Uncertain Mechanical System[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2012, 23(1): 108-118.

[32] Brierly S D, Longchamp R. Application of Sliding Mode Control to Air-air Interception Problem[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1990, 26(2): 306-325.

[33] Zhou D, Mu C D, Xu W L. Adaptive Sliding-mode Guidance of a Homing Missile[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(4): 589-594.

[34] 周荻. 寻的导弹新型导引规律[M]. 北京: 国防工业出版社, 2002. (Zhou Di. New Guidance Laws for Homing Missiles[M].Beijing: Press of National Defence Industry, 2002.)

[35] Moon J, Kim K, Kim Y. Design of Missile Guidance Law via Variable Structure Control[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001, 24(4): 659-664.

[36] Slotine J J, Sastry S S. Tracking Control of Nonlinear System Using Sliding Surfaces, with Application to Robot Manipulators[J]. International Journal of Control, 1983, 38(2): 465-492.

[37] Chen J Y. Expert SMC-based Fuzzy Control with Genetic Algorithms[J]. Journal of the Franklin Institute, 1999, 336(4): 589-610.

[38] Lin F J, Wai R J. Sliding-mode-controlled Slider-crank Mechanism with Fuzzy Neural Network[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2001, 48(1): 60-70.

[39] Shtessel Y B, Fridman L, Zinober A. Higher-order Sliding Modes[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2008, 18(4-5): 381-384.

[40] Lin C M, Hsu C F. Guidance Law Design by Adaptive Fuzzy Sliding-mode Control[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2002, 25(2): 248-256.

[41] Shtessel Y B, Shkolnikov I A, Levant A. Smooth Second-order Sliding Modes: Missile Guidance Application[J]. Automatica, 2007, 43(8): 1470-1476.

[42] Shtessel Y B, Shtessel Y B, Levant A. Missile Interceptor Using Second-order Sliding Modes[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2009, 45(1): 110-124.

[43] Zhu Z, Xu D, Liu J M, et al. Missile Guidance Law Based on Extended State Observer[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2013, 60(12): 5882-5891.

[44] Marks G M, Shtessel Y B, Gratt, et al. Effect of High Order Sliding Mode Guidance and Observers on Hit-to-kill Interceptions[C]. Proceedings of AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, San Francisco, California America, AIAA 2005-5967.

[45] 顾文锦, 赵红超, 杨智勇. 变结构控制在导弹制导中的应用综述[J]. 飞行力学, 2005, 23(1): 1-4. (Gu Wenjin, Zhao Hongchao, Yang Zhiyong. A Survey of Variable Structure Control Application in Missile Guidance[J]. Flight Dynamics,2005, 23(1): 1-4.)

[46] 孙胜, 周荻. 有限时间收敛变结构导引律[J]. 宇航学报, 2008, 29(4): 1258-1262. (Sun Sheng, Zhou Di. A Finite Time Convergent Variable Structure Guidance Law[J]. Journal of Astronautics,2008, 29(4): 1258-1262.)

[47] 丁世宏, 李世华, 罗生. 基于连续有限时间控制技术的导引律设计[J]. 宇航学报, 2011, 32(4): 727-733. (Ding Shihong, Li Shihua, Luo Sheng. Guidance Law Design Based on Continuous Finite Time Control Technique[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(4): 727-733.)

[48] 赵海斌, 李伶, 孙胜. 基于模糊控制的有限时间收敛制导律[J]. 航天控制, 2014, 32(3): 33-37. (Zhao Haibin, Li Ling, Sun Sheng. Guidance Law with Finite time Convergence Based on Fuzzy Logic[J]. Aerospace Control, 2014, 32(3): 33-37.)

[49] 乌日娜, 季海波, 张保利. 导弹有限时间三维非线性导引律[J]. 电光与控制, 2009, 16(4): 22-24. (Wu Rina, Ji Haibo, Zhang Baoli. Nonlinear Guidance Law for Missile Based on Finite Time Control[J]. Electronics Optics & Control, 2009, 16(4): 22-24.)

[50] 郭杨, 姚郁, 王仕成, 等. 一种基于有限时间理论的抗饱和制导律设计方法[J]. 宇航学报, 2012, 33(2): 175-182. (Guo Yang, Yao Yu, Wang Shicheng, et al. An Anti-saturation Guidance Law Designed by Finite-time Theory[J].Journal of Astronautics, 2012, 33(2): 175-182.)

[51] Golestani M, Mohammadzaman I, Vali AR. Finite-time Convergent Guidance Law Based on Integral Backstepping Control[J]. Aerospac Science and Technology, 2014, 39: 370V376.

[52] Kim M, Grider K V. Terminal Guidance for Impact Attitude Angle Constrained Flight Trajectories[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1973, 9(6): 852-859.

[53] Siouris GM. Missile Guidance and Control Systems[M]. Springer, New York, 2003.

[54] Zarchan P. Tactical and Strategic Missile Guidance, 4th ed[M]. New York: AIAA Inc., 2002.

[55] Kim B S, Lee J G, Han H S. Biased PNG Law for Impact with Angular Constraint[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, 34(1): 277-288.

[56] Jeong S K, Cho S J, Kim E G. Angle Constraint Biased PNG[C]. Proceedings of 5th Asian Control Conference, Melbourne, Australia, 2004: 1849-1854.

[57] Lu P, Doman D B, Schierman J D. Adaptive Terminal Guidance for Hypervelocity Impact in Specified Direction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(2): 269-278.

[58] Ratnoo A, Ghose D. Impact Angle Constrained Interception of Stationary Targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(6): 1816-1821.

[59] Ratnoo A, Ghose D. Impact Angle Constrained Guidance Against Nonstationary Nonmaneuvering Targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, 33(1): 269-275.

[60] Lee C H, Kim T H, Tahk M J. Design of Impact Angle Control Guidance Laws via High-performance Sliding Mode Control[J]. Proceedings of IMechE Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2012，227(2): 235-253.

[61] Zhao Y, Sheng Y Z , Liu X D.Sliding Mode Control Based Guidance Law with Impact Angle Constraint[J].Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(1): 145-152.

[62] Zhao Y, Sheng Y Z, Liu X D. Time-varying Sliding Mode Guidance with Impact Angle Constraints Against Nonmaneuvering Targets[C]. Proceedings of the 32nd Chinese Control Conference, Xi’an, China, 2013: 4898-4903.

[63] Zhang Z X, Li S H, Luo S. Composite Guidance Laws based on Sliding Mode Control with Impact Angle Constraint and Autopilot lag[J].Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2013, 35(6): 764-776.

[64] Zhang Z X, Li S H ,Luo S. Terminal Guidance Laws of Missile Based on ISMC and NDOB with Impact Angle Constraint[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 31(1): 30-41.

[65] Zhang Y X, Sun M W, Chen Z Q. Finite-time Convergent Guidance Law with Impact Angle Constraint Based on Sliding-mode Control[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, DOI 10.1007/s11071-012-0482-3.

[66] Kumar S R, Rao S , Ghose D. Sliding-mode Guidance and Control for All-aspect Interceptors with Terminal Angle Constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(4): 1230-1246.

[67] Rao S and Ghose D. Terminal Impact Angle Constrained Guidance Laws Using Variable Structure Systems Theory[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2013, 21(6): 2350-2359.

[68] Kumar S R, Rao S , Ghose D. Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance with Impact Angle Constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(4): 1114-1130.

[69] Xiong S F, Wang W H, Liu X D, et al. Guidance Law Against Maneuvering Targets with Intercept Angle Constraint[J]. ISA Transactions, 2014, 53(4): 1332-1342.

[70] Jeon I S, Lee J I, Tahk M J. Impact-time-control Guidance Law for Anti-ship Missiles[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(2): 260-266.

[71] Zhao S Y, Zhou R. Cooperative Guidance for Multimissile Salvo Attack[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2008, 21(6): 533-539.

[72] 王晓芳, 郑艺裕, 林海. 多导弹协同作战制导律研究[J]. 弹道学报, 2014, 26(1): 61-66. (Wang Xiaofang, Zheng Yiyu, Lin Hai. Research on Guidance Law for Cooperative Attack of Multiple Missiles[J]. Journal of Ballistics, 2014, 26(1): 61-66.)

[73] 张友安, 马国欣, 王兴平. 多导弹时间协同制导: 一种领弹-被领弹策略[J]. 航空学报, 2009, 30(6): 1109-1118. (Zhang Youan, Ma Guoxin, Wang Xingping. Time-cooperative Guidance for Multi-missiles: a Leader-follower Strategy[J]. Acta Aeronautics ET Astronautic Sinica, 2009, 30(6): 1109-1118.)

[74] 马国欣, 张友根, 张友安. 领弹控制下的多导弹时间协同三维制导律[J]. 海军航空工程学院学报, 2013, 28(1): 11-16. (Ma Guoxin, Zhang Yougen, Zhang Youan. Leader-controlled Three-dimensional Guidance Law for Time-cooperative Multi-missiles[J]. Journal of Naval Aeronautical and Astronautical, 2013, 28(1): 11-16.)

[75] Jeon I S, Lee J I, Tahk M J. Homing Guidance Law for Cooperative Attack of Multiple Missiles[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, 33(1): 275-280.

[76] Zhao S Y, Zhou R, Wei C, et al. Design of Time Constrained Guidance Laws Via virtual Leader Approach[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2010, 23(1): 103-108.

[77] 马国欣,张友安. 带有导引头视场限制的攻击时间控制导引律[J]. 弹道学报, 2013, 25(2): 6-11. (Ma Guoxin, Zhang Youan. Impact Time Control Guidance Law with Seeker Field of View Limit[J]. Journal of Ballistics, 2013, 25(2): 6-11.)

[78] 张友安, 马国欣. 攻击时间控制的动态逆三维制导律[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2010, 31(2): 215-219. (Zhang Youan, Ma Guoxin. Dynamic Inversion Three-dimensional Guidance Law for Impact Time Control[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2010, 31(2): 215-219.)

[79] Kumar S R, Ghose D. Sliding Mode Control Based Guidance Law with Impact Time Constraints[C]. Proceedings of the American Control Conference, Washington, DC, USA, 2013: 5760-5765.

[80] Lee J I, Jeon I S, Tahk M J. Guidance Law to Control Impact Time and Angle[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2007, 43(1): 301-310.

[81] Zhang Y A, Ma G X, Liu A L. Guidance Law with Impact Time and Impact Angle Constraints[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2013, 26(4): 960-966.

[82] Kim T H, Lee C H, Jeon I S, et al. Augmented Polynomial Guidance with Impact Time and Angle Constraints[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2013, 49(4): 2806-2817.

[83] Harl N, Balakrishnan S N. Impact Time and Angle Guidance with Sliding Mode Control[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2012, 20(6): 1436-1449.

[84] Arita S, Ueno S. Optimal Feedback Guidance for Nonlinear Missile Model with Impact Time and Angle Constraints[C]. Proceedings of AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Boston, MA America, AIAA 2013-4785.

[85] Fang Y, Ma K M, Chen Y Q. Cooperative Guidance Laws with Constraints on Impact Time and Terminal Angle[J]. Journal of System Simulation, 2014, 26(10): 2434-2441.

[86] 陈万春，周浩，胡锦川. 包含速度过程约束和多终端约束的空地导弹投放下滑段制导方法[P]. 中国，201410134938.2，2014-08-13.

[87] Xie Daocheng, Wang Zhongwei. Adaptive Proportional Guidance Law for Reentry Vehicles with Impact Angle and Terminal Velocity Constraints[C]. Proceedings of 10th World Congress on Intelligent Control and Automation, Beijing, China, 2012: 159-163.

[88] Yu Wenbin, Chen Wanchun. Trajectory-shaping Guidance with Final Speed and Load Factor Constraints[J]. ISA Transactions, 2015, 56(4): 42-52.

A Survey of Terminal Constrained Guidance Law

Zhao Yao1， Liao Xuanping1, Chi Xueqian1, Song Shaoqian1, Liu Xiangdong2

1. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China 2. Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China

Theprimaryobjectiveofterminalguidanceistoproduceaminimummissdistancebetweenthemissileandthetarget.Incurrentguidancelawdesign,however,someotherterminalconstraintssuchasimpactangleconstraint,impacttimeconstraintandimpactvelocityconstraintarealsosignificant.Aimingatsurveyingthecurrentresearchesaboutterminalconstrainedguidancelaws.Theadvantagesanddrawbacksofthecurrentmethodsarealsodiscussedtoserveasreferencesforterminalguidancelawdesign.

Terminalguidance;Survey;Terminalconstraints

2016-11-29

赵 曜 (1987-)，男，山东淄博人，博士，工程师，主要研究方向为弹道制导与控制；廖选平(1977-)，男，四川乐山人，硕士，研究员，主要研究方向为飞行器总体设计；迟学谦(1985-)，男，湖南许昌人，硕士，工程师，主要研究方向为控制系统总体设计；宋少倩(1984-)，女，烟台人，硕士，高级工程师，主要研究方向为控制系统总体设计；刘向东(1971-)，男，湖北荆门人，博士，教授，主要研究方向为航天器姿态控制。

V448

A

1006-3242(2017)02-0089-10