广义余弦定理

解一庸++张广智

摘要：本文将余弦定理，由线段概念，扩展到图形概念。余弦定理及勾股定理仅是广义余弦定理的特例。

关键词：广义余弦定理；广义勾股定理

本文目的是：扩充余弦定理的含义和使用，众所周：知△ABC中有余弦定理：

它的几何解釋是：以 为边的

正方形，等于以 为边的正方形与

以 为边的正方形之面积之和，减

去以 为边的矩形面积的2cosC倍.

若在a，b，c三边，任意作三个相似的图形，如下图设它们的面积分别为 则有定理：

…⑴

若以三角形的三边长，分别作正n边形则，∠C所对边的正n边形的面积是：

…（2）

证：如右图，若边长为 的正n边形其面积为：

广义余定理⑴整理后有（2）式.例如：

当n=3余弦定理为：（n是正n边形的边数）

当n=4余弦定理为：

当n=5余弦定理为：

……

当n=k余弦定理为：

应用：①如知三角形三边上的图形相似，其中兩边上图形面积分别为5及20其夹角为60°求另一边上的面积 ？

解：将其值代入广义余弦定理有：

=5+20-2 cos60°=15

②在⊿（a⊥b）中以a，b分别为直径作圆，它们的面

积分别2，3求以斜边c为直径作圆的面积

解：将其值代入广义勾股弦定理有：

2+3=5

③三角形两边长分别为1，3，夹角为60°分别以三边为边作正六边形，求第三边上的面积

解：将其边数6的值代入广义余弦定理（2）有：

（12+32-2×1×3cos60°）=

④三角形两边长分别为1，3，夹角90°分别以三边为边作正方边形，求第三边上的面积

（12+32-2×1×3cos90°）=

说明：本文用 表示以c为边的正n边形的面积.