匀变速直线运动中“知三求二”的总结与探究

蒋佳运�お�

[摘要]在匀变速直线运动中，主要包含初速度v0、末速度vt、时间t、位移x和加速度a5个物理量，只要知道其中任意3个物理量，就能求出其他2个物理量，这里总结为“知三求二”。这种解题思路和方法，不仅适用于匀变速直线运动，也适用于自由落體运动、平抛运动、天体运动等。掌握这种方法，对提升学生解决物理问题的能力有积极作用。

[关键词]匀变速直线运动；规律；知三求二

[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20004502

在高中物理第一章《直线运动》中，在对匀变速直线运动的规律进行教学时，教师可引导学生归纳总结“知三求二”的解题思路。具体总结如下。

【规律总结】在物体做匀变速直线运动的过程中，通常有5个物理量，常用3个公式进行分析解答。这5个物理量分别是：初速度v0，时间t，末速度vt，加速度a，位移x。

较常用的3个公式是：

速度公式vt=v0+at……（1）

位移公式x=v0t+12at2……（2）

速度位移关系式v2t-v20=2ax……（3）

其中公式（1）（2）是基本公式，（3）式可由（1）（2）两式推导得出。

匀变速直线运动一共包含初速度v0、末速度vt、时间t、位移x和加速度a共5个物理量。根据数学规律，只要知道匀变速直线运动中的三个物理量，就能求出其他两个物理量，这个规律，这里总结为“知三求二”。根据5个物理量的关系，我们总结了10种不同组合。下面，结合实例进行分类例析。

第一类：已知v0、t和vt，求a和x。

【例1】

枪管内的子弹在某一时刻的速度是100m/s，经过0.0015s，速度增加到700m/s，求此过程中子弹的加速度和位移。

解：依据速度公式vt=v0+at，并代入数据得

700=100+a×0.0015a=4×105m/s2

由位移公式x=v0t+12at2

得

x=100×0.0015+12×4×105

×0.00152x=0.6m

第二类：已知v0，t和a，求vt和x。

【例2】

一辆汽车以10m/s的初速度开始加速行驶，加速度大小为5m/s2，求经过2s以后，汽车前进的距离和末速度。

解：由位移公式得

x=v0t+12at2x=10×2+

12×5×22

x=30m

由速度公式得

vt=v0+atvt=10+5×2vt=20m/s

第三类：已知v0，t和x，求vt和a。

【例3】

一辆卡车以10m/s的初速度开始加速行驶，经过2s后，卡车前进了30m，求卡车的末速度和加速度。

解：由位移公式得

x=v0t+12at230=10×2+12a×22a=5m/s2

由速度公式得：

vt=v0+atvt=10+5×2vt=20m/s

第四类：已知v0、vt和a，求t和x。

【例4】

一辆机车以36km/h的速度行驶到一段下坡路时开始加速，加速度的大小为0.2m/s2，当机车沿直线行驶到坡的末端时，速度增加到54km/h。求机车通过这段下坡路所用的时间和前进的距离。

解：36km/h=10m/s，54km/h=15m/s

由速度公式得

vt=v0+at15=10+0.2tt=25s

由位移公式得

x=v0t+12at2x=10×25+12

×0.2×252x=312.5m

第五类：已知v0、vt和x，求t和a。

【例5】

根据我国对机动车运行安全的技术标准，一辆满载时总质量在3.5t到12t之间的大型汽车，如行驶速度为30km/h，其制动距离必须在8.0m以内。则该车的制动系统产生的加速度至少是多大？经过多长时间停下来？

解：v0=30km/h=25/3m/s

由速度位移关系式得

v2t-v20=2ax0-（253）2=2a×8

a=-4.3m/s2

由速度公式得

vt=v0+at0=253+（-4.3）t

t=1.94s

第六类：已知v0、vt和x，求t和vt。

【例6】一个物体以2m/s的初速度出发，做匀加速直线运动，已知加速度是1m/s2。当物体前进了16m时，求物体的末速度和所用的时间。

解：由位移公式得

x=v0t+12at216=2×t+12×1×t2

t=4s

由速度公式得

vt=v0+atvt=2+1×4vt=8m/s

第七类：已知t、vt和a，求v0和x。

【例7】

一辆汽车以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，求汽车在停止运动前最后1s内的位移以及它的初速度。

解：设初速度为v0，位移为x，由速度公式得

vt=v0+at0=v0+（-2）×1v0=2m/s

由位移公式得

x=v0t+12at2x=2×1+12（-2）×12

x=1m

第八类：已知t、vt和x，求v0和a。

【例8】某物体做匀减速直线运动，经过5s停下来，前进了50m，则物体的初速度和加速度各是多少？

解：设初速度为v0，加速度为a，由速度公式得

vt=v0+at0=v0+a×5

由位移公式得

x=v0t+12at250=v0×5+12a×52

联立以上两式，解方程组得：

v0=20m/s

a=-4m/s2

第九类：已知t、a和x，求v0和vt。

【例9】

某汽车紧急制动时加速度的大小是6m/s2，在2s内前进了28m，求该汽车的初速度和末速度。

解：由位移公式得

x=v0t+12at228=v0×2+12

×（-6）×22v0=20m/s

由速度公式得

vt=v0+atvt=20+（-6）×2vt=8m/s

第十类：已知vt、a和x，求v0和t。

【例10】一辆匀速行驶的汽车，若遇到紧急情况，汽车刹车，加速度大小为5m/s2，通过了40m后才停下来。则汽车匀速行驶时的初速度是多少？刹车所用的时间是多少？

解：由速度位移关系式得

v2t-v20=2ax02-v20=2×（-5）×40v0=20m/s

由速度公式得

vt=v0+at0=20+（-5）×tt=4s

“知三求二”类運动学问题，有上面10种组合。在高考题中，也不时出现。下面通过例题来说明。

【例11】（2016年全国新课标Ⅲ卷第16题）

一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为（）。

A.st2

B.3s2t2

C.4st2

D.8st2

分析：题目给出动能变为原来的9倍，实际就是给出了物体运动的初末速度关系，相当于给出了初速度或者末速度，再加上直接给出了时间t和位移s，依据“知三求二”的解题思路，容易解答本题。

解：设初速度为v0，末速度为vt，由动能定理得：

Ek2=9Ek112mv2t

=9×12mv20

vt=3v0

由速度公式得

vt=v0+at3v0=v0+at

由速度位移关系式得

v2t-v20=2ax9v20-v20=2as

联立以上方程解得：

a=s/t2

所以答案为A。

“知三求二”解题思路，在其他知识板块中也可以拓展使用。

比如在自由落体运动中，包含末速度vt、下落高度h和时间t3个物理量，只要知道其中任何一个物理量，我们就能求出其他2个物理量。

卫星，因为地球的万有引力提供做圆周运动的向心力，而绕地球做圆周运动，卫星的轨道半径、线速度、角速度、周期、加速度5个物理量，只要其中一个物理量确定，则其他物理量也只有一个唯一确定的值。

例如，同步卫星，因为角速度等于地球的自转角速度，是一个确定的值，所以同步卫星的高度、线速度、周期和加速度都是固定的。

以上关于匀变速直线运动问题的“知三求二”的解题思路，说明相关联的物理量是可以相互转化、相互表示的。只要知道了其中的部分物理量，那么根据物理量间的联系，就能求出其他物理量。

（责任编辑易志毅）