关注几何直观促进数学思考

蒋宝慧�お�

[摘要]借助几何直观，难懂的数学问题可以变得简单易理解，抽象的数学概念、公式可以变得生动形象.教师应该重视培养学生的几何直观意识.

[关键词]几何直观；数学；思考

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20003102

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出要关注数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性.对于数与代数的内容，教材重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解和解决有关代数问题.几何直观是指人们借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知和整体把握.利用直观教学，了解其几何背景，不仅能引发学生的探索兴趣，更能激起学生积极思考的热情.

一、借助几何图形面积的计算，探索有关公式

1.合并同类项法则

【例1】如图1，大长方形由两个小长方形组成，用不同的形式表示长方形的面积.

从图1可以看出，这个长方形的面积可用代数式表示为5n+3n或（5+3）n，从而5n+3n=（5+3）n=8n.这就是说，在计算5n+3n时，可以先将它们的系数相加，再乘以n就可以了.

【例2】用不同的方法表示图2所拼长方形的面积S.

方法1：S=（m+b）（n+a）；

方法2：S=ma+mn+bn+ba.

从上图可看出（m+b）（n+a）=ma+mn+bn+ba.从而得出：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

3.完全平方公式

【例3】如图3，一块边长为a米的正方形，将其边长增加b米，形成一个新的正方形，用不同的形式表示新正方形的面积S.

方法1：S=（a+b）2；

方法2：S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

从而得出（a+b）2=a2+2ab+b2.

4.平方差公式

【例4】如图4、5，边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，分别计算图4、图5中阴影部分的面积S.

根据计算结果，探索规律.

在教学中，可先让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历“观察（每个算式和结果的特点）——比较（不同算式之间的异同）——归纳（可能具有的规律）——提出猜想”的过程.如果学生一时未能独立发现其中规律，可借助点阵的排列规律来帮助学生理解.

利用图6左图的点阵，可使学生从数与形的联系中发现规律，进而鼓励学生推测出1+3+5+7+…+19=102.

此后，还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1+3+5+7+…+（2n-1）=n2，并加以验证.

三、借助数轴，直观地求解代数问题

1.不等式（组）的解集

【例6】解不等式组.

3x-1>2x+1①2x>8.②

解不等式①，得x>2；解不等式②，得x>4.

在同一数轴上表示不等式①、②的解集（如图7）.

由数轴可知，所求不等式组的解集是：x>4.

2.绝对值的几何意义

【例7】当x为何值时，式子|x-1|+|x+2|+|x-3|有最小值？

解：根据绝对值的几何意义，本题是求到点-2、1、3的距离之和最小的值.让点在数轴上从左到右运动，当运动到-2和3之间时，点到-2、3的距离和为定值5，运动到1时，到1的距离为0，此时原式的值最小，即当x=1时，最小值为5.

观察发现，该式含有3个绝对值符号，要求该式子的最小值，若采用去绝对值符号进行讨论，则会很烦琐，而结合数轴、借助绝对值的几何意义来求解则更清楚直观，往往能达到出奇制胜的效果.

四、借助线形示意图，帮助学生建立方程模型

1.线段图

【例8】某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个，小组成员共有多少名？他们计划做多少个“中国结”？

某同学解：设小组成员有x名，根据题意，得5x+9=4x-15，他的解答是否正确呢？

下面我们借助线段图（如图8）：

由线段图，可以清楚地发现（1）（2）各自与计划个数的关系，5x-9=计划个数，4x+15=计划个数，易得方程5x-9=4x+15，那么“该同学的解答是错的”就一目了然了.

2.圆形图

【例9】将一批资料录入电脑，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多少时间？

思考1：如果把全部工作量看作1，设甲、乙两人合做的时间是x小时，那么可以画出圆形图（如图9、10）：

由图9可得方程：118×8+（118+112）x=1

；由图10可得方程：118（8+x）+112x=1.

通过不同的“形”找到存在的各种“数”的关系，形数对照，使学生对知识有更深刻的理解.

五、借助函数图像，轻松解决生活中的代数问题

【例10】A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为90元/人，但优惠办法不同.A旅行社的优惠办法是：全家有一人購全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：每人均按三分之二的票价优惠.根据图意（如图11）回答.

（1）当全家为2人时，

A旅行社与B旅行社收费各是多少？

（2）当全家为6人时，

A旅行社与B旅行社收费各是多少？

（3）当全家为多少人时，A旅行社与B旅行社收费一样多？

（4）当全家为多少人时，选择B旅行社更划算？

解：

（1）当全家为2人，A旅行社与B旅行社收费各是45元，60元.

（2）当全家为6人时，A旅行社与B旅行社收费分别是135元，120元.

（3）当全家为4人时，A旅行社与B旅行社收费一样多.

（4）当全家多于4人时，选择B旅行社更划算.

观察理解函数图像的变化规律，便于人们直观地判断事物发展的方向，并提出相应的对策，寻求解决问题的方法.著名数学家华罗庚指出：“数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西.它们既分别发展着，同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的向前发展，形与数相比较，有着直观上的优势.初中生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆.教师应注意到学生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆.而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系做出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，以增加解决问题的有效途径.

总之，借助几何直观，难懂的数学问题可以变得易理解，抽象的数学概念、公式可以变得生动形象.因此，教师首先要具有较好的几何直观意识，在各种教学细节的处理中，善于挖掘和捕捉几何直观的资源，渗透几何直观，从而促进学生对数学问题的“形”的思考.

（责任编辑黄桂坚）