推广KP方程的非奇异有理解

程 丽

(金华职业技术学院师范学院，浙江金华 321017)

推广KP方程的非奇异有理解

程 丽

(金华职业技术学院师范学院，浙江金华 321017)

借助Maple软件的直接符号计算，得到推广KP方程的非奇异有理解．在一定的条件下，（2+1）维推广KP方程具有在空间所有方向都趋于零的lump解，其解涉及六个自由参数；而（3+1）维推广KP方程有lump类型的一族非奇异有理解，其解涉及八个自由参数．

推广KP方程；双线性形式；非奇异有理解；Lump解

寻求非线性发展方程精确解是一项非常重要的工作，发展方程的精确解不但在理论上有助于进一步了解方程的本质属性和代数结构，而且在应用上可以合理地解释相关的自然现象．众所周知，（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程是数学物理中的基本方程，长期以来求其精确解一直受到物理学家和数学家的关注．

马文秀教授考虑了KP方程和Boussinesq方程的推广形式[1]

其中M是自然数，aij是实常数且满足在变换下，方程（1）转化为双线性形式

（2）式等价于

文献[1]给出方程（3）三孤子解存在的条件，得到（2+1）维Boussinesq方程

和（3+1）维KP方程

是不可积的．但是通过变量的线性变换，方程（1）可以转化为可积的（2+1）维KP方程和Boussinesq方程以及KP方程维数的退化——带导数KdV方程

近些年，人们把注意力转移到寻求非线性发展方程的非奇异有理解．目前已发现三种类型的非奇异有理解：代数孤子解[2]、lump解[3]和怪波解[4-5]．Lump解指的是在空间上所有方向都趋于零的解，在对非线性现象的研究中占有重要的地位．基于双线性方程，利用长波极限法，Satsuma J.和Ablowitz M. J.构建了（2+1）维KP-I的lump解[3]．最近马文秀教授借助于直接符号计算方法得到（2+1）维KP-I更为一般形式的一族lump解[6]，包含以往文献所得到的lump解．借助于Maple软件，本文给出了几种特殊形式的推广KP方程lump解或lump类型的解．

1 （2+1）维推广KP方程的lump解

讨论（2+1）维推广KP方程

通过变换

得到双线性方程

由于方程（1）中的系数aij满足为了计算和表示方便，考虑方程（6），令式（6）中utt项的系数为零．设

其中bi,1≤i≤9是待确定的实参数．

把f代入方程（9）中，由于b4,b8的取值对方程（9）没有影响，计算时可忽略b4,b8，经整理得到：

x2的系数：

y2的系数：

t2的系数：

xy的系数：

xt的系数：

yt的系数：

常数项：

令上述x2,y2,t2,xy,xt,yt的系数以及常数项为零，得到左边为以上式子、右边为零的7个方程所构成的方程组，借助于Maple软件，直接符号计算可得唯一一组解

也就是当b9＞0时，方程（9）有一族正定二次函数解

再由变换（7）可得到（2+1）维推广KP方程（6）的lump解：

从（15）式可以看到f在整个xy空间不是恒为正的，因此式（15）不是正定二次函数．但若取式（13）为

在条件（12）满足的情况下，式（16）是正定二次函数，在整个xy空间恒为正，这时方程（6）具有lump解（14）．Lump解是非奇异有理解，它在空间上所有方向都趋于零，能合理地解释相关的物理现象．其中，当bi,1≤i≤9取特殊值时，lump解（14）的图见图1．

当a11=a12=a23=0,a13=1,a22=-1时，方程（8）即为（2+1）维KP-I双线性方程[6]，式（13）即为文献[6]中的式（2.7）．这时各系数满足条件（12），所以方程（6）具有lump解．

综上所述，当（2+1）维推广KP方程（6）的系数满足条件（12）时，其双线性方程（8）有正定的二次函数解（13），其中，涉及b1,b2,b4,b5,b6,b8这6个自由参数，q1,q2,q3,g1,h1由（11a）-（11e）所定义．同时通过变换（7），方程（6）在条件（12）下具有空间上所有方向都趋于零的lump解．

2 （3+1）维推广KP方程的lump类型解

考虑三个空间变量xy,z的推广KP方程

由变换u=-2(lnf)xx有

图1 方程（6）取a11=a23=0,a13=1,a22=-3,a12=3，（16）式取b1=b4=b5=b6=1,b2=b8=2,x=2，（a）：式（14）的三维图，（b）：当t=1时，式（14）的y-曲线图Fig 1 Equation-6: Whena11=a23=0,a13=1,a22=-3,a12=3, When Equation-16:b1=b4=b5=b6=1,b2=b8=2,x=2,(a): Three-dimensional Diagram of Equation-14, (b): Whent=1, they-curve Graph of Equation-14

其中aij,1≤i,j≤3是任意常数．方程（18）等价于

若h2=-a22(b1b7-b2b6)2-a33(b1b8-b3b6)2＞0,b1b6≠0，即满足b11＞0，则方程（17）有一族正定二次函数解

同样由变换（7）可得到（3+1）维推广KP方程的非奇异有理解，即lump类型解．

3 结 语

Lump解能描述海洋学、光学、力学等领域中的非线性波现象，而KP方程又是数学物理中的一个重要方程，这就使对KP方程lump解的寻求成为非常有意义的事．本文借助于Maple软件的符号直接计算得到几种特殊形式推广KP方程的非奇异有理解．其中，（2+1）维推广KP方程在一定条件下有在空间所有方向都局部有理化的lump解，而（3+1）维推广KP方程在一定条件下有lump类型的非奇异有理解．对推广KP方程的非奇异有理解，还有许多问题值得探究，比如，它的双线性方程是否还有其它形式的二次正定函数解？是否还有更高次的正定函数解？这些都有待于今后的探讨．

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[3] Satsuma J, Ablowitz M J. Two-dimensional lumps in nonlinear dispersive systems [J]. J Math Phys, 1979, 20(7):1496-1503.

[4] Akhmediev N, Ankiewicz A, Taki M. Waves that appear from nowhere and disappear without a trace [J]. Phys Lett A,2009, 373: 675-678.

[5] Akhmediev N, Ankiewicz A, Soto-Crespo J M. Rouge wave and rational solutions of the nonlinear Schrödinger equation [J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 2009, 80(2): 026601-026609.

[6] Ma W X. Lump solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equation [J]. Phys Lett A, 2015, 379(36): 1975-1978.

[7] Wang Y H, Chen Y. Bäcklund transformations and solutions of a generalized Kadomtsev-Petviashvili equation [J].Commun Theor Phys, 2012, 57(2): 217-222.

[8] Ma W X. Comment on the 3+1 dimensional Kadomtsev-Petviashvili equations [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2011, 16(7): 2663-2666.

Abstract:It turns out in this paper that the nonsingular rational solution as a class of generalized Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation is obtained via the direct symbolic computation with Maple software.Under a certain condition, the (2+1)-dimensional generalized KP equation with a class of lump solutions,rationally localized in all directions in the space is presented, applying its Hirota bilinear form. The resulting lump solutions contain six free parameters. While the nonsingular rational solutions of the (3+1)-dimensional generalized KP equation with a class of lump-type solutions are involved in eight free parameters.

Key words:Generalized KP Equation; Hirota Bilinear Form; Nonsingular Rational Solution; Lump Solution

(编辑：封毅)

Nonsingular Rational Solutions to the Generalized KP Equation

CHENG Li
(Normal school, Jinhua Polytechnic , Jinhua, China 321017)

O175.24

A

1674-3563(2017)03-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-06-26

程丽(1972-)，女，浙江永康人，副教授，硕士，研究方向：应用数学