寻易错之源，觅纠错之道

林生

从2010年至2016年的全国高考题来看：历年全国卷对数列的考查虽然不是每年都作为解答题出现，但数列却是高考数学中的一棵“常青树”. 而全国卷中的数列对考生的考查虽不难，但由于考生对数列的概念、性质以及基本结论理解不透彻、思考不全面等多种原因，这就导致考生对数列易混淆、易错题的题型“难以把握”. 加上数学学习是一个认知过程，在这个過程中，由于考生的认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误，因此若不厘清数列中的易混淆、易错题的题型，考生依然“重复昨天的错误故事”. 所以我们在备考的过程中就要认真对待出现的错误，要剖析错误产生的原因，探讨错误的纠正方法，只有我们在这个过程中真正地做到慎思、深思，明辨其错误的“是非”，这样才可以做到不要让类似的错误再次发生. 因此我们要真正地解决数列易混淆、易错题的题型，就必须要熟练数列相关知识，厘清它们数列易混淆、易错题的题型，在解题过程中加强对条件和结论的分析，掌握数列易混淆、易错题的题型的注意问题，做到将数列中的易混淆、易错题的题型“药到病除”. 下面总结归纳数列中的易混淆、易错题的题型，就解数列易混淆、易错题的题型的一些解题方法和技巧来进行举例分析、总结归纳，结合在数列中解题出现的一些错误来辨析，以达到正本清源的功效.

一、混淆相近的数学概念或概念不清产生的错误

例1. x=■是a， x， b成等比数列的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不要条件

错解展示：此题易错选为A，若x=■，则x2=ab，所以a， x， b成等比数列，当a， x， b成等比数列，则x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比数列的充分不必要条件，故选A.

错因剖析：本题选A的原因主要是知识性的错误，是由概念不清所致，等比数列中要求数列中的每一项及公比不能为零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.

正解：选D，若x=■，则x2=ab，但x， a， b有可能为零，因此推不出成a， x， b等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比数列的既不充分也不要条件.

变式1：已知Sn为数列{ an }的前n项和，且有Sn=bn+■，试判断{ an }是什么数列？

错解展示：由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比数列.

错因剖析：本题错误的原因就是对等比数列的概念不清晰，忽略等比数列的公比不能为零这一情况，而b=0或b≠0.

正解：当b=0时，显然数列{ an }不成等比数列，此时数列{ an }为常数列；当b≠0时，由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此数列{ an }是以公比b的等比数列.

例2. 已知数列{ an }的首项为1，Sn为数列{ an }的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{ an }的通项公式.

错解展示：依题意a1=1，a1+a2=qa1+1，2a3=3a2+2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因为a2 2=a1a3，所以{ an }是一个等比数列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

错因剖析：本题由特殊代替一般，即由前3项成等比数列，就错误认为数列{ an }为等比数列，要证明数列为等比数列，要确保任意一项都满足■为同一常数才行.

正解：由已知得Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1， 两式相减得到an+2=qan+1，n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n≥1都成立. 所以数列{ an }是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由2a2，a3，a2+2成等比数列可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，则（2q+1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

例3. 等比数列{ an }的公比为q，则q>1是“对于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的_______条件.

错解展示：当q>1时，很多考生容易错误判断出an+1>an，或当an+1>an时，则错误判断出q>1，因此很多考生会错误判断为充要条件或充分不必要条件或必要不充分条件.

错因剖析：本题主要是由于不理解等比数列的递增数列这个基本概念所致，误认为判断等比数列为递增数列和等差数列为递增数列一样，只需要判断公比的情况，殊不知判断一个等比数列是否为递增数列或递减数列，不单单要考虑公比，还要考虑首项a1才行. 对于等比数列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且01（a1>0或且00为递增数列，d<0为递减数列），切莫将判断等差数列和等比数列为递增（递减）混淆，要理解它们之间的本质，才可以避免出错.

正解：在等比数列{ an }中，由于a1没有确定（a1>0或a1<0），因此q>1无法推出数列{ an }为递增数列，即an+1>an，同样由an+1>an，即等比数列{ an }是递增数列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且01，所以q>1是“对于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的既不充分也不要条件.