学生还需要学四类十一种应用题吗

谢立新

【摘要】四类数量关系、十一种运算的意义，在小学数学教学中，具有很重要的地位。是学生后续学习的基础，解决问题的依据，发展思维的工具。在过去的教学中，这个内容被僵化，变成了死板的四类十一种应用题，加重了学生的负担。现在的教学，需要转变思路，把四类十一种应用题变成数量关系和运算意义的教学，并且要建立准确，学习清楚。

【关键词】应用题 数量关系 问题解决

前不久，在通州区参加了一个教研活动，活动中，张丹老师提出一个问题：“小学生还需要学四类十一种应用题吗？”这个问题，一下子引起了我的思考，学生还需要学习这四类十一种应用题吗？学或者不学的理由各是什么呢？

一、应清楚什么是四类十一种应用题

在原来的教学中，尤其是应用题教学时代，把整数应用题划分成一般应用题和典型应用题两大类，又把一般应用题分为一步应用题和复合应用题，再把一步应用题细分成四类十一种应用题。这四类十一种应用题，又有两种分法，一种是按计算方法分成加、减、乘、除四类，加法又包括求和、求大数两种；减法包括求剩余、求小数、求差三种；乘法包括求几个相同加数的和、求几倍数两种；除法包括平均分、包含除、求一倍数和求倍数四种。另一种是按照数量间的关系，分成“总分关系（总量和部分量）”“大小关系（大数、小数和差）”“份总关系（每份数、份数和总量）”“倍数关系（一倍数、倍数和几倍数）”四类。具体看下表：

二、不需要学的理由

第一，应用题教学过于重视题型训练，而忽略了解题策略和数学思想的培养。第二，应用题教学，脱离实际，很多题并不是实际生活中的事件，而是为了解题编出来的。第三，在题型教学思想指导下教学，培养的学生过于刻板，只会解答标准格式的题目，不会解决实际问题，造就了一批只会考试不会做事的高分低能人才。所以，我们的课标和教材以及一些专家们，在这方面都有所引导，要求我们数学教师重视学生能力和思维的培养，应该改变原来应用题教学思路。

如：人教版教材减少了原来的应用题教学单元（曾经有一段时间几乎去掉了应用题教学单元），而把一些实际问题的解决放到了计算单元。这样，更有利于计算意义和应用的结合，可以引导学生运用已有的知识进行问题解决。

再如：多种版本的教材，都去除了一些典型应用题，如归一应用题、归总应用题、倍比应用题等，行程应用题也只保留了最基本的数量关系和最简单的相遇问题。把植树问题、鸡兔同笼问题等内容，放到了数学广角或数学百花园中，作为选学内容或拓展内容，目标也不是为了学习这些题型，而是以这些内容为载体，学习一些策略和渗透一些数学思想。

从以上一些变化可以看出，这样的思路是正确的，确实减轻了学生的一些负担，不用记背这些题型。并且培养了学生的灵活性，学生在课堂上甩掉了题型这个枷锁，有时间和空间进行方法的探究和策略的学习。

三、需要学的理由

如果我们换一个角度来看这四类十一种应用题，其实是四类数量关系，十一个运算意义。应该是我们教学的重点内容。

第一，新课标对数学的定义：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”那就说明我们进行数学教学，很重要的工作就是引导学生学习数量关系。而这四种数量关系，是最基本的数量关系，所以一定要学习的。史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出：“模型是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在小学阶段的数学教学中，至少需要考虑两个模型：一个是总量模型，一个是路程模型。”史宁中教授这里说的总量模型，其实就是我们前边说的第一种数量关系“部分、部分和总量之间的关系”，而路程模型，就是我们说的“每份数、份数和总量之间的关系”。而我们说的另外两种数量关系，是可以根据这两种基本数量关系推导出来的，“大数、小数和差的关系”，可以依据“部分、部分和总量之间的关系”推出，倍数关系可以依据“每份数、份数和总量的关系”推出。所以，史宁中教授没有把这两种数量关系作为基本模型，但是，这两和数量关系依然很重要，一定要学习，并且要学好。

第二，这十一种运算的意义，是我们以后学习计算的算理，我们要学習很多新的运算，都是以这些意义为依据的，所以一定要学好。马新兰老师曾经整理过小学数学中的概念，以和为根本，以“和—倍—分数—比”为主线，贯穿小学数学教学的始终。这里面的“和”“倍”就是十一种意义中的两个。并且，这四类十一种数量关系，是学生以后解决问题的最根本的依据，没有这十一种意义，学生没法列式，理解不清楚这四种数量关系，学生就不会分析问题，也不可能解决问题。所以，学习这四类十一种运算的意义是必需的。

第三，这四类数量关系，还是培养学生数感的基础。学生通过数和数量，可以感悟数的大小、多少；根据数量关系，可以感受数量间的联系，并且可以依据数量关系，计算出新的数量，使问题得到解决。

第四，如果我们没有帮助学生认识并建立这些数量关系，学生很难进行问题解决。张丹老师曾经讲过他儿子的故事，那时候张丹老师的儿子刚上一年级，还没有学习“大数、小数和差的数量关系”。有一天，张丹老师问儿子：“妈妈有3个苹果，你比妈妈多2个，你有几个？”孩子想了想说：“5个。”张丹老师接着问：“可以怎样列式？”孩子想了想，摇了摇头说：“不知道。”张丹老师问：“可以用2+3吗？”孩子又想了想说：“不可以，这不是把两部分合在一起，把两部分合在一起，才可以用加法。” ……其实，这样的故事，我们老师身上都发生过，听了张丹老师和儿子的故事后，一些老师禁不住也回家问了自己的儿子或女儿，结果都发生了同样的故事。在六年级，同级别的故事也发生过，在学习一个数乘分数前，老师做了一个前测，其中一道题是：“一条路长400米，修了全长的■，修了多少米？”全班同学，没有一个人列式：400×■。从以上故事可以看出，学生没有建立这样的数量关系之前，是不会用这样的数量关系来列式的。原因是，他们头脑中没有这样的思维，他是不会进行这样的思考的。

四、应该学，且应学好

所以，我认为，我们不应该再进行刻板的应用题类型的教学，但四类数量关系十一种运算的意义，还是应该教学的，并且要帮助学生建构清楚，且能灵活运用这些数量关系进行分析和思考。另外我认为，学生学习这十一种运算的意义应该学全。一些教师模糊了一些运算意义的建立，如把“每份数、份数和总量之间的关系”中的计算每份数（习惯称平均分）和计算份数（习惯称包含除），模糊成一个运算意义，都叫作平均分，这是不准确的。而且，对于学生以后的学习，会造成很多困难。如学习分数除以整数时，我们要用到平均分，而学习一个数除以分数时，要用到包含除，是不能混为一谈的。再有，有的版本教材删除了“求一倍数”的例题，淡化了这一运算意义的建立，这也给学生的学习造成很大困难。有编者认为，学生学习了方程以后，自然会用方程来解决这类问题，其实，这里讨论的不是学生能否解答这类问题，而是学生因此少了一种数量关系，也就少了一种思维，对学生学习数学还是很有影响的。