数形结合在方程问题中的应用

摘 要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。下面主要谈一下“以形辅数”在方程问题中的应用。

关键词：数形；方法；转化

一、 根的个数问题

【例1】 方程12x=lnx的根的个数。

分析：思路一、构造函数f（x）=lnx-12x

则f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0

∴f（x）在（1，e）内有零点，又f（x）在（0，+∞）上为增函数

∴f（x）在定义域（0，+∞）内仅有一个零点。

思路二、令f（x）=12x，g（x）=lnx

在同一坐标系中作出两个函数f（x）=12x，与g（x）=lnx的图象（如图1）

图1

由图可知两曲线只有一个公共点，故方程只有一个解。

注：在思路一中既要弄出f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0，还要说明f（x）=lnx-12x在定义域内是单调的，方可得出方程仅有一根。至于函数在整个定义域内不单调，或者不能确定函数的单调性，只能分开讨论解答（见例题2）。思路二中，只要作出两个函数的图象即可。

【例2】 判断方程log2x=-（x-1）2+2的根的个数。

分析：思路一、构造函数f（x）=log2x+（x-1）2+2，函数在定义域内不单调。

x>1时，f（x）递增，f（1）=-2<0，f（2）=0，f（4）>0。

∴f（x）在（0，+∞）上有唯一的一个零点。

0

∴在（0，+∞）上，f（x）有且仅有一个零点。

即方程log2x=-（x-1）2+2的解只有一个。

思路二、令：f（x）=log2x，g（x）=-（x-1）2+2

在同一坐标系中作出二者的图象（如图2）。

由图可知方程log2x=-（x-1）2+2只有一个解。

图2

注：通过两个实例，发现思路二较思路一要简捷些，思路二可以导出思路一中根所在的区间（a，b）端点，对于方程中含有参数时，思路一无能为力了，请看下面的例题。

二、 参数取值范围问题

【例3】 若关于x的方程x+1-x=m有两个不同的实根，求实数m的取值范围。

分析：将方程变形x+1=m+x，引入两个函数f（x）=x+1，g（x）=x+m，

在现一坐标系中作出f（x）=x+1（x≥1）与g（x）=x+m（x≥-m）的圖象（如图3）。

图3

g（x）=x+m（x≥-m）表示以（-m，0）为端点位于x轴上方的动射线，f（x）=x+1（x≥1）表示是由幂函数y=x向左平移一个单位得到的图象。

当m=1时射线与曲线恰有两交点

当射线与曲线相切，即方程x+1=（m+x）2只有一个解时，

由x2+（2m-1）x+m2-1=0的Δ=（2m-1）2-4（m2-1）=0m=54

结合图形，得：1≤m<54。

总之，数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系。在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力。

作者简介：

温桂花，江西省赣州市，江西赣县三中。