“数”与“形”在概率论中的完美结合

刘喜富++郝媛媛

摘要：数形结合是一种重要的思想方法，以其解题的直观、形象而著称。针对概率论课堂教学过程中的几何概型问题、全概率公式问题，运用数形结合的思想将复杂问题简单化、抽象问题具体化，达到完美的教学效果。

关键词：数形结合；概率论；几何概型；全概率公式

“数”与“形”是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。在数学问题的求解过程中，运用“数”与“形”之间的联系，往往可以将复杂问题简单化，而这种联系称之为数形结合。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科。早在17世纪，著名数学家帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始通信讨论，开创了概率论研究的先河，后来荷兰数学家惠更斯也参加了这场讨论，并写出关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》。帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人。在概率问题的求解过程中，如果适当运用数形结合的思想，会使问题变得简单。

一、数形结合在几何概型中的应用

如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的度量（长度、面积、体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。几何概型的问题通常都可以通过“形”的方式解决。

例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。

分析：因为电台每小时报时一次，这个人打开收音机的时间恰好是在两次报时之间，例如（12：00～13：00），要使等待时间短于10分钟，只有他打开收音机的时间恰好在12：50至13：00之间才有可能。

解：假设事件A={等待时间短于10分钟}，由题意可得P（A）=10/60=1/6。

二、数形结合在全概率公式中的应用

全概率公式是概率论中最基本的公式之一，它通过将复杂事件转化为若干个互不相容的简单事件的和事件，再求出简单事件的概率，最后运用加法公式得到所要求的复杂事件的概率。

例2自行车的钥匙丢了，落在教室的可能性为50%，这种情况可以找到的概率是0.8；落在图书馆的概率为30%，这种情况可以找到的概率为0.5；落在路上的可能性为20%，这种情况可以找到的概率为0.1，求找回自行车钥匙的概率。

分析：根据题意，钥匙可能丢失的地方有3个：教室、图书馆、路上，对应在这些地方能找回的概率依次为0.8、0.5、0.1，符合全概率模型。

解：假设事件A={钥匙被找回来}，B1={钥匙丢在教室}，B2={钥匙丢在图书馆}，B3={钥匙丢在路上}，运用全概率公式可知，即可以找回自行车钥匙的概率为P（A）=P（B1）×0.8+P（B2）×0.5+P（B3）×0.1=0.5×0.8+0.3×0.5+0.2×0.1=0.57。

三、数形结合在等可能概型中的应用

试验的样本空间只包含有限个元素，并且试验中每个基本事件发生的可能性相同，具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型。

例3假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，两名学生的生日（不计年份）相同的概率是多少？

分析：在直角坐标系中，把两人生日按1，2…365标于坐标轴x、y上，“生日相同”理解为在直线y=x上的点。

解：记正整数x、y为两人的生日，在1到365中取值，由两人生日所构成的点的数目为365×365，两人生日相同所代表的点，即落在直线y=x上的点数为365，因此，两名学生的生日相同的概率为P=365/（365×365）=1/365。

通过以上例题可以看出，借助数形结合的方法可以将概率中的几何概型问题、全概率公式问题图形化、直观化。概率论中关于数形结合思想的运用远远不止这些，贝叶斯公式问题、连续型随机变量的函数分布问题、事件之间的关系问题等，都可以运用数形结合的思想将复杂问题简单化。实践证明，运用数形结合的方法为学生讲解，能使学生更容易理解复杂问题的求解过程，有助于提高教学质量，获得更好的教学效果。

参考文獻：

[1]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]郭凤艳.浅谈数形结合思想及在概率中的应用[J].赤子（上中旬），2015（11）：125.

[4]杨玲玲，王超.用数形结合法求解连续型随机变量的函数分布问题[J].数学的实践与认识，2014（17）：294-298.