混合分数维Hull-White利率模型下幂型期权的定价

周香英, 潘 坚(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

混合分数维Hull-White利率模型下幂型期权的定价

周香英, 潘 坚
(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

文章假定原生资产的价格和利率的随机过程服从混合分数维布朗运动,利用风险对冲技术和偏微分方程方法得到了混合分数维Hull-White利率模型下幂型期权的定价公式,推广了相应基于几何布朗运动驱动的幂型期权定价公式和基于分数维布朗运动驱动的幂型期权定价公式。

分数维Hull-White模型;幂型期权;偏微分方程方法;期权定价

0 引 言

期权是一种选择权,它赋予持有者未来以事先约定的价格购买或出售某种资产的权利。自从1973年Black和Scholes提出著名的B-S期权定价公式以来，期权定价已成为金融数学研究的热点。伴随着期权交易在世界各地的迅速发展,不仅期权交易量迅速扩大,交易品种也不断增加,在传统合约的基础上出现了许多新型期权。幂型期权就是其中的一种,即其到期收益为原生资产价格的幂函数或者是以多项式的形式给出的期权,不再是原生资产价格和执行价格之间的价差,而是原生资产价格的某个指数幂函数与执行价格的关系。在到期收益中,如果原生资产价格的幂大于1时,期权价格高于相应欧式期权的价格,对于期权的卖方来说就增加了收益。因此,幂型期权在期权市场受到不少投资者的青睐。

近年来,众多学者[1-2]在经典Black-Scholes框架下研究幂型期权的定价。经典的B-S期权定价公式是建立在有效市场假设之下,认为原生资产的价格波动是相互独立的。但是对股票市场的大量实证研究[3-6]表明:原生资产的对数收益率并非服从正态分布,而是服从一种“尖峰厚尾”的分布,且原生资产之间也并非随机游走,而是存在着长期相关性。为此,文献[7]提出了分数维布朗运动,其能够有效地描述金融资产的自相似性、后尾性、长期相关性等特征,成为修正传统期权定价模型的合适工具。但分数维布朗运动既不是Markov过程,也不是半鞅,因此不能应用通常的随机计算理论来研究金融资产的价格过程。为了使分数维布朗运动能够顺利地应用于金融市场,有不少学者做了大量有关分数维布朗运动随机积分理论方面的基础性工作。文献[8]建立了分数维布朗运动的路径依赖型积分,但是随后文献[9]证明了按照该路径依赖型随机积分建立的金融市场数学模型存在套利机会,这使得分数布朗运动似乎不适合用于刻画股票价格变化的行为模式。因此,为了消除套利机会同时反映金融时间序列的长记忆性等性质,众多学者建议使用混合分数维布朗运动(分数维布朗运动中再加入布朗运动对市场进行混合)作为噪声来驱动市场。文献[10]证明了当赫斯特指数H∈(3/4,1)时,混合分数维布朗运动等价于标准布朗运动,此时市场是无套利的。文献[11]应用Wick积分和分数白噪声理论定义了一种关于分数布朗运动的随机积分,即Wick-Ito型随机积分,并证明了在该积分框架下,当H∈(3/4,1)时,金融市场是无套利且完备的。文献[12]应用Wick-Ito型随机积分得到了欧式期权的定价公式和相应的套期保值策略。此后,许多学者在混合分数维期权定价领域开展了研究[13-16],但在混合分数维随机利率模型下研究期权定价,特别是幂型期权的研究文献并不多。

本文在假定原生资产的价格和利率的随机过程服从混合分数维布朗运动下,首先利用Kolmogorov倒向随机微分方程的知识和Feynman-Kac公式导出混合分数维Hull-White利率模型下零息票债券的定价公式。然后,利用风险对冲技术、Wick-Ito型随机积分和偏微分方程方法得到混合分数维Hull-White利率模型下幂型期权的定价公式,推广了相应基于几何布朗运动驱动的幂型期权定价公式和基于分数维布朗运动驱动的幂型期权定价公式,使应用更为广泛。

1 预备知识与基本假设

1.1 预备知识

定义1 设(Ω,F,P)为一个概率空间,对于H∈(0,1),分数布朗运动{BH(t),t∈R}是指满足如下条件的随机过程:

BH(0,w)=0, ∀w∈Ω

(1)

(2)

(3)

(3)式表明标准布朗运动是分数布朗运动的一种特殊情况。

分数布朗运动和混合分数布朗运动的一些性质及其证明参考文献[11-13]。下面给出建立模型的一些必要基本假设。

1.2 基本假设

(1) 市场利率由混合分数维Hull-White随机利率模型给出，即

drt=[a(t)-b(t)rt]dt+

(4)

当β1=0,α1≠0时,(4)式为经典的Hull-White随机利率模型;当α1=0,β1≠0时,(4)式为分数维Hull-White随机利率模型。

(2) 原生资产(股票)的价格遵循如下混合分数维布朗运动:

dSt=St[(μt-glnSt)dt+

(5)

当g=0,β2=0,α2≠0时,(5)式为经典的几何布朗运动模型。从模型假设(1)和假设(2)可以看出,本文后面的结论推广了相应文献的结论。

(4) 原生资产连续支付红利,红利率为q(t)。

(5) 市场无摩擦,即不支付交易费和税收,考虑的市场是无套利市场。

2 零息票债券的定价公式

在利率衍生物的定价中,零息票债券的价格通常作为一个计价单位,通过该计价单位可以达到降维的目的,因此,本文首先给出零息票债券的定价公式。

引理1 在混合分数维Hull-White利率模型下,到期日为T的零息票债券在t∈[0,T]的值可以表示为：

P(r,t)=eA1(t)-A2(t)r

(6)

其中

；

证明 由于利率的随机性,t时刻零息票债券的值可以表示为:

(7)

利用Kolmogorov倒向随机微分方程的知识和Feynman-Kac公式,可以得到:

(8)

注意到在经典Hull-White利率模型下零息票债券的值通常有仿射结构解,为此令:

P(r,t)=exp[A1(t)-A2(t)r]

(9)

其中,A1(t)、A2(t)为待定的函数且A1(T)=0,A2(T)=0。将(9)式代入(8)式,可以得到如下定解问题:

(10)

(11)

利用变量分离的方法可以得到(10)式和(11)式的解,即

(12)

(13)

因此,引理1得证。

3 幂型期权的定价公式

3.1 期权定价模型

下面利用分数维Ito公式、风险对冲技术和无套利原理推导出混合分数维Hull-White利率模型下的期权定价模型。

在时间段(t,t+dt)作一个投资组合Π,使得Π在该时间段内无风险,其中Π是由一份欧式期权V=V(S,r,t)、Δ1份的股票S和Δ2份的零息票债券P=P(r,t)空头组成,即

Π=V-Δ1S-Δ2P

(14)

因此,在(t,t+dt)时间段内Π的收益为:

dΠt=dVt-Δ1dSt-Δ1q(t)Stdt-Δ2dPt

(15)

(16)

根据无套利原理[1],有

(17)

注意到零息票债券的价格P在混合分数维Hull-White利率模型下满足如下偏微分方程:

(18)

因此,将(18)式、(16)式代入(17)式,可以得到混合分数维Hull-White利率模型下股票期权V满足的偏微分方程:

从V满足的偏微分方程可以看出,V的值与原生资产的收益率无关。因此,为了确定期权的价格(以看涨期权为例),就要在区域Σ:{0≤S<+∞,-∞≤r<+∞,0≤t≤T}上求解如下定解问题:

(19)

3.2 期权定价公式

下面利用函数变换技巧和偏微分方程方法得到定解问题(19)式的解析解。

定理1 混合分数维Hull-White利率模型下的幂型看涨期权定价公式为:

(20)

其中

(21)

其中

为了求解(21)式,作如下自变量和函数变换:

通过简单的计算后,(21)式可化为如下定解问题:

(22)

由Poisson公式[17]得(22)式的解为:

(23)

(24)

经过一系列的上述变换回到原变量和原函数,定理1得证。用完全类似的方法,可以得到混合分数维Hull-White利率模型下的幂型看跌期权定价公式。

推论1 混合分数维Hull-White利率模型下的幂型看跌期权定价公式为:

(25)

(1) 当n=1时,定理1和推论1是非常熟悉的支付红利的欧式看涨和看跌期权的定价公式。

(2) 当n=2时,定理1和推论1是平方期权的定价公式。

4 数字幂型期权的定价公式

本文运用定理1的方法给出数字幂型期权的定价公式。

定义3 数字幂型期权在到期日T的收益函数为如下2种[6]:

(26)

其中,1{·}为示性函数。

因此,混合分数维Hull-White利率模型下数字幂型期权的定价问题就是在区域Σ:{0≤S<+∞,-∞≤r<+∞,0≤t≤T}上求解如下定解问题(以第一类数字幂型期权为例):

(27)

定理2 混合分数维Hull-White利率模型下,第一类数字幂型期权的定价公式为:

(28)

其中

其他参数见定理1。

证明 完全类似证明定理1的方法,作如下代换:

通过较为繁琐的计算后,(27)式可化为:

(29)

由Poisson公式[17]得(29)式的解为:

(30)

其中

完全类似I1的求解,有

N(d3)

(31)

(32)

经过一系列的上述变换回到原变量和原函数,定理2得证。用完全类似的方法,可以得到第二类数字幂型期权的定价公式。

推论2 混合分数维Hull-White利率模型下,第二类数字幂型期权的定价公式为:

其中

其他参数见定理1。

5 结 论

在期权市场上,原生资产价格的行为模式是期权定价与风险管理的基础。此外,利率作为金融市场上的一个重要因素,所有的证券价格及收益率都与之相关。因此,本文在混合分数维Hull-White利率模型下,利用风险对冲技术、无套利原理和偏微分方程函数变换法得到了股价基于混合分数维布朗运动驱动的幂型期权的定价公式,推广了相应基于几何布朗运动驱动的幂型期权定价公式和基于分数维布朗运动驱动的幂型期权定价公式,这不仅为投资者提供了一种确定期权价格的方法和控制投资风险的手段,而且丰富了现有的期权定价理论。

[1] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法 [M].2版.北京:高等教育出版社，2008:74-89.

[2] 茅宁.期权分析：理论与应用 [M].南京:南京大学出版社，2000:412-413.

[3] FAMA E.The behavior of stock market prices [J].Journal of Business，1965，38(1):34-105.

[4] ANDREW W L.Long-term memory in stock market prices [J].Econometrica，1991，59(5):1279-1313.

[5] MANDELBROT B B.Fractals and scaling in finance:discontinuities，concentration，risk [J].Physics Today，1998，51(8):59-60.

[6] BEBEN M，ORLOWSKI A.Correlations in financial time series:established versus emerging markets [J].European Physical Journal B，2001，20(4):527-530.

[7] MANDELBROT B B，VAN NESS J W.Fractional Brownian motion，fractional noises and application [J].SIAM Review，1968，10(4):422-437.

[8] LIN S J.Stochastic analysis of fractional Brownian motion [J].Stochastics and Stochastic Report，1995，55(1):121-140.

[9] ROGERS L.Arbitrage with fractional Brownian motion [J].Mathematical Finance，1997，71(1):95-105.

[10] CHERIDITO P.Mixed fractional Brownian motion [J].Bernoulli，2001，7(6):913-934.

[11] DUNCAN T，HU Y，PASIK-DUNCAN B.Stochastic calculus for fractional Brownian motion I:theory [J].SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(2):582-612.

[12] BENDER C，ELLIOTT R J.Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market [J].Mathematics of Operations Research，2004，29(4):935-945.

[13] 张卫国，肖炜麟.分数布朗运动下股本权证定价研究：模型与参数估计[M].北京:科学出版社，2013:72-106.

[14] 何成洁，沈明轩，杜雪樵.分数布朗运动环境下幂型支付的期权定价公式[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2009，32(6):924-926.

[15] 黄文礼，陶祥兴，李胜宏.分数维Vasicek利率模型下的欧式期权定价公式[J].数学学报，2012，55(2):219-230.

[16] 徐峰，周圣武.混合分数布朗运动下永久美式期权的定价[J].数学的实践与认识，2015，45(20):61-65.

[17] 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等.数学物理方程讲义[M].3版.北京:高等教育出版社，2012:108-119.

(责任编辑 张 镅)

Pricing of power options based on mixed fractional Hull-White interest rate model

ZHOU Xiangying, PAN Jian
(School of Mathematics and Computer Science， Gannan Normal University， Ganzhou 341000， China)

Under the framework of the underlying asset price and the stochastic interest rate obeying the mixed fractional Brownian motion， the pricing formulas for power options based on the mixed fractional Hull-White interest rate model are obtained by using the risk hedge technique and partial differential equation methods， which generalize the corresponding pricing formulas based on the geometric Brownian motion setting and the fractional Brownian motion setting.

fractional Hull-White model; power option; partial differential equation method; option pricing

2015-12-07；

2016-03-07

国家自然科学基金资助项目(11501125);江西省自然科学青年基金资助项目(20151BAB201010)

周香英(1980-),女，江西吉水人，赣南师范大学讲师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.06.024

F830.9

A

1003-5060(2017)06-0847-07