渐近周期的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性

郝亚文，李宇华

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)



渐近周期的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性

郝亚文，李宇华

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

针对Kirchhoff系统和Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性研究较少的问题，在渐近周期的假设下，利用山路引理证明了当V、f是渐近周期函数时，Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性。

Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统；山路定理；渐近周期；非平凡解

0 引言

近年来，许多学者研究了Kirchhoff系统

(1)

和Schrödinger-Poisson系统

(2)

其中：系统(1)通过考虑振动时改变绳子长短的效果扩展了D’Alembert波方程；系统(2)是描述非线性薛定谔方程与静电场相互作用的驻波模型。系统(1)和系统(2)更详细的物理背景可以参阅文献[1-2]。 对于系统(1)解的研究结果，可以参阅文献[3-6]。 对于系统(2)，在V(x)和f(x,u)的不同假设下，很多研究已经证明了其解的存在性。例如，文献[7]研究了系统(2)的径向对称解；文献[8]研究了系统(2)基态解的存在性；文献[9]研究了系统(2)正解的存在性；文献[10]研究了系统(2)的多解性。

但是，在渐近周期的假设下，目前的研究结果相对较少。受到文献[11-12]的启发，本文将研究在渐近周期的假设下，系统

(3)

解的存在性。为了获得本文的结论，先定义集合

其中：meas为Lebesgue侧度。

条件(f1)：存在一个有界开区域D，使得

对x∈D一致成立。

(b)t在(-∞，0)不增，并且在(0，∞)不减。

对于势函数V(x)，假设其满足下面的条件。

本文的主要结果是：

定理1 假设条件(f1)～条件(f3)和条件(V)成立，则当λ很小时，系统(3)具有非平凡解。

1 主要结果的证明

首先，给出一些记号和定义。在H1(R3)中，定义系统(3)相应的泛函I:H1(R3)→R，

进一步，由条件(f2)有：

引理2 假设条件(f1)～条件(f3)和条件(V)成立，则泛函I的Cerami 序列在H1(R3)中有界。

证明 设{un}是泛函I的一个Cerami序列，则有：

(4)

上式可变形为：

(5)

于是，

(6)

取δ>0，使得

则把式(5)和式(6)代入式(4)，可得：

选择ε充分小，当n充分大时，

其中：C2为常数。这说明{un}在L3(R3)有界，进一步{un}在H1(R3)中有界。

引理3 假设条件(f1)～条件(f3)成立，则：

证明 (Ⅰ)令u∈H1(R3)，则由条件(f3)有：

则取ρ充分小，有：

为了证明定理1，定义

2 定理1的证明

(Ⅰ)u≠0，则u是系统(1)的解。

所以，v是泛函Φ的临界点。

由Fatou引理[14]有：

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[4] JIN J H,XU X.Infinitely many radial solutions for Kirchhoff-type problems inN[J].Journal of mathematical analysis and applications,2010,369(2):564-574.

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[6] CHEN J Q.Multiple positive solutions to a class of Kirchhoff equation on3with indefinite nonlinearity[J].Nonlinear analysis,2014,96:134-145.

[7]AMBROSETTI A,RUIZ D.Multiple bound states for the Schrödinger-Poisson problem[J].Communications in contemporary mathematics,2008,10:391-404.

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[11] LIU H.Positive solutions of an asymptotically periodic Schrödinger-Poisson system with critical exponent[J].Nonlinear analysis(real world applications),2016,32:198-212.

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[14] 周民强.实变函数论[M].2版.北京:北京大学出版社,2008.

国家自然科学基金项目(11301313);山西省自然科学基金项目(2015021007)

郝亚文(1990-),女,山西吕梁人,硕士生;李宇华(1981-),女,山西太原人,副教授，博士，硕士生导师,主要研究方向为非线性泛函分析.

2016-10-07

1672-6871(2017)03-0095-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.03.020

O177.91

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