浅析数学概念学习中的错误

余航

【摘要】本文结合心理学与教育学，针对学生在数学概念学习中的一些错误理解，从数学概念意象的形成、数学概念定义、数学概念联系、学生的负迁移四个方面分析产生错误的原因.

【关键词】数学概念；概念学习；概念意象；概念联系；负迁移

【基金项目】广西教育科学“十二五”规划2015年度广西基础教育教育教学法研究基地专项课题《初中数学优质课堂教学策略研究与实践》，编号：2015JD409.

在数学概念的学习中，由于概念意象的模糊性、分散性和数学概念定义的不一致以及学生对概念理解不透彻、掌握不牢，导致学生经常出现一些错误.笔者从学生的心理、生理特征以及已有的认知结构出发，来分析在表征数学概念时，易受日常概念、思维习惯及教师的教法和观念以及学生负迁移的影响而发生的错误.

一、数学概念意象形成中的错误

在数学概念的形成中，由于与数学概念意象的形成密切联系，学生利用概念意象来记忆、表征和运用数学概念而导致错误概念的产生，这些错误主要集中在用日常生活概念、概念原型、“形象描述”代替数学概念.

（一）用日常概念代替数学概念

日常概念是指产生于日常生活经验的概念.科学概念则是指在学校教学中形成与获得的真实概念.当日常概念与科学概念相一致时将有助于科学概念形成，反之亦然.学生学习科学概念几乎从日常生活概念中抽象发展而成，进而形成数学概念.但由于日常概念具有易变性、多义性、不精准性等特点，使其极易与科学概念的本质属性发生矛盾，不利于科学概念的形成、掌握与运用，从而导致数学概念错误的产生.例如，日常生活中，我们观察到和接触的“角”是尖的，所以，学生学习“角”的概念时用了日常概念来代替数学概念，认为平角和周角不是角，此时与科学概念不一致，从而导致数学概念错误的发生.

（二）用概念原型代替数学概念

人们学习新知识时，喜欢从模仿开始入手，模仿概念原型來学习数学概念.然而在模仿概念原型学习的过程中，学生有时自然而然形成概念原型标准化的框架来学习数学概念，导致错误的数学概念产生.

在数学概念的学习中，学生往往先试着回忆获得概念的情境，然后，才联想到其定义的形式，此时概念的典型实例在学生的脑海里唤起学生所建立的概念意象，然而学生自己所建立的概念意象有时并不像科学概念那么明确，对概念意象具有模糊性，从而也出现错误的数学概念.同时学生借助典型实例来观察、分析获得新的数学概念，给予概念标准化，把无关的元素加入数学概念，或把数学概念相关的元素忽视了，直接用原型概念来代替数学概念判断知识，不仅用了数学概念的相关元素，也用了无关元素来判断数学某些知识，甚至有时只用了无关元素来判别.

（三）用形象描述代替数学概念

形象描述，就是把抽象的材料用形象化的语言来阐述，在数学概念意象表征数学概念的学习中，许多时候，学生通过自己的语言来描述数学概念.但在形象描述过程中，学生对于描述的语言、符号使用不准确，包括概念意象的模糊性和分散性而造成数学概念的错误.如，学生对完全平方公式的概念表征中，忽略公式中字母代表的具体意义，认为公式中字母仅代表数，却忽略了公式中的字母不仅可以代表数，也可以代表单项式，甚至多项式.

二、数学概念定义中形成的错误

在定义数学概念时，由于学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延以及概括与抽象能力不强、概念定义与概念意象相脱离也会导致数学概念错误的产生.

（一）内涵和外延把握不正确导致数学概念错误

从逻辑上说，概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围，而概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和，概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，倘若内涵扩大，其外延就会缩小；内涵缩小，其外延就会扩大.如果学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延，那么将会导致数学概念错误出现.

例如，“互为余角”这个概念，它的外延是这两个角与它们所处的位置无关，即使这两个角相距很远，但只要它们的和等于90°，这两个角就为互余，而它的内涵是“具备两个角，且这两个角和等于90°，则称这样的两个角互为余角”.然而大部分学生常常只会叙述定义，不去真正理解其本质属性，内涵与外延分不清，扩大内涵、缩小外延出现互为余角这个概念的错误，或缩小内涵、扩大外延而出现互为余角这个概念的错误.

（二）概括与抽象能力不强导致数学概念错误

概括是从思想中把从某些具有一些相同属性的事物中抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念.在数学概念的定义中，是把具有共同特点的对象归纳总结在一起，抽象出对象的本质属性，将其推广为这一对象的更大范围的同类数学对象的本质属性.概括与抽象能力不强就会有可能在数学概念的定义中将一些无关特征当作本质属性；或者脱离具体背景，仅仅保留其抽象的本质属性来形成概念的定义.

一是将非本质特征作为本质特征进行概括产生数学概念错误；二是只概括部分本质特征，不能正确理解数学概念的本质所产生的数学概念错误.如，分式的概念，学生往往遗漏了关键的一点——分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式，而造成错误的分式概念产生.三是发生异化，即对本质特征加以修正、改变.如，算术平方根的概念，不少学生将其概念中的整数修改为正数，导致概括出来的算术平方根概念是错误的.

（三）概念定义与概念意象相脱离导致数学概念错误

数学概念是由概念定义与概念意象构成的完整的整体.但是，在大多数情况下，学生的概念定义与概念意象是相脱离的，大多数数学概念的形式化定义与概念本质想脱离造成许多错误的产生，特别是那些以检测概念定义为主要目标的问题，错误的概率就更高了.

例如，学生在学习函数定义时，往往用了概念意象形象地记住几种特殊的函数模型——一元一次函数、一元二次函数、指数函数、三角函数、对数函数，而将函数概念早已置之不理.将数学定义与数学概念意象想脱离最易发生在每个初学者身上，对于大多数的数学概念的学习都潜藏着这种概念定义与概念意象相脱离的现象，只有经过变式、正反例的对比、概念的运用等多种活动的开展后，才会慢慢地将概念定义与概念意象相融合起来.

三、数学概念联系中形成的错误

数学概念之间的联系一直贯穿于数学概念学习的过程中，例如，新概念与原概念的联系，概念内容与概念的联系等.部分学生在学习数学概念时，对概念之间联系比较僵化，对概念联系不恰当，从而导致数学概念错误的产生.

（一）数学概念联系僵化导致的错误

学生在学习数学概念时，没有自主去建立概念内部与概念之间的联系，依赖与教师所建立的结构或教材上现有的结构去记忆其表达形式，或语言表达.然而教师和教材的知识有限，并不能满足于学生对数学概念的准确掌握.此时，学生所掌握的数学概念是孤立的，所掌握的概念对象是僵化的.这种孤立僵化地看待数学概念而产生的错误，一般出现在有高中数学概念交织在一起的复杂背景中，在这种背景中，学生往往同时接触多个数学概念，只有恰当地解决这些概念之间的联系，才能从根本上解决问题.比如，把“正比例函数”“一次函数”和“二次函数”的概念放在一个联系的背景下去理解，比单纯地理解其中的一个对象要容易得多.然而，由于部分学生对所掌握的数学概念是孤立的，是僵化的，结果造成这样一种常见的情形：学生对每一个数学概念很熟悉，甚至能倒背如流，但问题终究解决不了，到运用时却不知所措.

（二）数学概念联系不恰当的错误

在学习和使用数学概念时，或多或少都要与各种概念进行联系，如果数学概念的联系不恰当，将会导致数学概念学习与运用中的许多错误：一是将数学概念中的非本质特征作为本质特征与其他概念进行联系干扰了数学概念之间的联系的正确建立.二是将数学概念体系中的概念定义、概念性质、概念判定等混为一谈.将数学概念的部分定义作为整体概念定义，将数学概念的部分性质當作整体数学概念的性质，将数学概念部分判定用来判定数学概念；或者将数学概念的部分定义与部分性质、部分判定合起来一起去建立数学概念的联系.以致在数学概念学习中会思维混乱，表现为对概念认识模糊不清，对概念知识掌握太过零散，难以掌握正确的数学概念，甚至将正确的数学概念给歪曲了.三是对数学概念的本质属性把握比较浅显，导致数学概念之间的联系无法正确建立.如，“轴对称图形”与“中心对称图形”之间的联系可以说明这一点.在讨论对称图形时，这两个概念之间的联系可以很容易建立，然而当讨论完轴对称图形再讨论中心对称图形时，他们将无法接受中心对称图形的概念.

四、负迁移形成的数学概念理解和运用错误

负迁移包括认知结构与新知产生矛盾以及消极的思维定式.认知结构，简单来说就是学生头脑中的知识结构.广义上，认知结构是学生已有观念的全部内容及其组织；狭义上，它是学生在某一学科的特殊知识领域内观念的全部内容及其组织.当学生的认知结构与所学的新知产生矛盾时，认知结构将影响新知识的理解、运用.思维定式，也称“惯性思维”，是由先前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态，或活动的倾向性.当在学习数学概念时有了消极的思维定式，将会成为束缚创造性思维的枷锁.

（一）认知结构与新知有矛盾导致数学概念的错误理解

利用原来的认知结构来进一步学习新的知识，一旦认知结构与新的知识有矛盾时，他们将无法对新知识进行理解与运用，导致新知识的错误产生.例如，学习复数中的“i2=-1”时，早已有这样的认知结构“任何实数的平方都是正数”，因此，在学习复数时，无法接受i2=-1，在心理上自觉不自觉地存在一些障碍，导致对复数概念的理解、运用的错误产生.

（二）消极的思维定式导致数学概念的错误理解

消极的思维定式将会束缚创造性思维，妨碍采用新的方法来正确理解新的知识，导致新知识错误的产生.消极的思维定式包括认识上的困难、不适当的类比与只善于简单思维，不会复杂思维等等，在数学概念的学习中，不同阶段的差异性与同一阶段内的稳定性存在矛盾，将会使学生在认识上发生困难.例如，函数的概念，在初中阶段的定义与高中阶段的定义从字面上看是不一样的，在初中只是描述性的，是作为常量的数学的函数，然而高中是用映射的观点来解释，如果在初中时过于强调函数概念的描述性，那么将会使学生在高中时认识函数上发生困难.

在数学概念的学习中，不仅认识上的困难会导致数学概念的错误产生，不适当的类比也会导致数学概念的错误产生.人们学习新的事物或知识几乎是从模仿开始的，然后，用类比的方法去解决类似的问题，大部分情况下，解得答案都是正确的，所以，学生容易形成类比思维的定式，但是学生有时候盲目地类比，把不恰当的类比用来学习新的概念，此时类比的思维会对学生学习数学概念起消极作用，导致数学概念错误的产生.

在数学概念的学习中，学生反复使用简单性思维（单向思维和顺向思维）去学习新的知识，却不会用复杂思维（发散思维和逆向性思维）去学习新的知识.例如，学生理解函数列的收敛性概念时，当问学生{fn}在X上一致收敛于f是否有ε>0，Ν≥1，x∈X，则|fn（x）-f（x）|<ε时，许多学生回答错误.这是因为学生善于顺向思维去学习该概念，而不善于逆向思维去学习该概念.

综上所述，由于对概念理解不透彻，概念意象模糊性、分散性以及消极的思维定式都会造成数学概念学习过程中出现错误.

【参考文献】

[1]郑毓信，等.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2]李建才.初中数学教材教法[M].北京：高等教育出版社，1995：162.