多途径解决数学问题策略探讨

许真玉

在《数学课程标准》提出的教学目标中，就把解决问题作为课程目标。这里的“解决问题”不是以往“识别题型，模仿例题，套用解题”的解题方式，而是要求我们教师在教学时，应着眼于学生的生活经验和实践经验，开启学生的视野，拓宽学生学习的空间，最大限度地挖掘学生的潜能，从而使学生体验数学与日常生活的密切联系，培养学生从周围情境中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，发展学生的应用意识和形成解决问题的策略。

“策略”是选择和使用方法的思想指导，意在指向顺利地完成任务，并能达到预期目标的思维与行动的最有效、最简洁的方式方法，完全是学生自身内部形成的。

经过近几年的课改实践探索，我初步形成了一些解决问题的基本策略：

一、作图

这是一种具体化的策略，可以帮助学生审题、分析和检验。作图不仅指线段图，也包括实物简图等。小学生在纸上画画图可以拓展思路，对解题有一定的帮助，灵活运用这项解题策略，还能使学生的动手操作能力和空间想象能力得到充分的发展，也比较符合小学生具体形象性的思维特点。

例如我让学生解答这样一道问题：在一个正方形池塘的四周种树，每边都种有20棵，并且四个顶点都种有一棵树，池塘四周共种树多少棵？很多同学都做出这样的答案：20×4=80（棵）。这时我就引导学生画出每边种4棵或5棵情况的示意图，来归纳总结规律。从示意图上可以看出，每边种4棵，一共要种12棵而不是4×4=16（棵），每边种5棵是16棵，而不是5×4=20棵。为什么不论每边种4棵或5棵，都是比原来设想的少4棵呢？学生通过仔细观察示意图，发现原来解答的错误在于把四个顶点上的4棵树计算了2次，所以都多算了4棵，正确的解答方法应该把重复计算的4棵减去。所以正确答案应是：20×4–4=76（棵）。

画图本身是一种动手操作能力的培养，让学生在审题后画图，促使学生的空间想象能力得到了发展，而借助作图这一教学策略，难题也就迎刃而解了。

二、列举

列举是一种重要的数学思维形式，在解决数学问题时，有时依靠单纯的列式似乎存在一定的困难，如果把属于答案的这些对象逐一找到，问题的答案也就有了。而不重复、不遗漏地一一列举，需要学生有条理的进行思考，这是发展学生思维的好时机。

例如：导游带着38个人去住宿，只有2人间和3人间的客房，怎样安排客房全部住满，有几种安排方式？象这样的解决问题采用列举法就能把所有可能有序罗列了：（38+1）=39通过列举法醒目地出现了7种安排方式，显得浅显而易掌握。

三、转化

所谓解决问题的转化策略，就是在解题过程中，不断转化解题方向，从不同的角度、不同的侧面去探討问题的解法、寻找最佳的方法。转化法是数学解题的一个重要技巧，分散难点，化繁为简，它把生疏的题目转化成熟悉的题目；把繁难的题目转化成简单的题目；把抽象的题目转化为具体的题目。

如：在一个正三角形内画一个最大的圆，在圆内再画一个最大的正三角形。已知大正三角形的面积为48平方厘米，求小正三角形的面积是多少？

乍一看图，简直“疑无路”。但转动小正三角形成图二时，学生顿时豁然开朗，一看便知道小正三角形的面积是大正三角形的1/4。

再如，当学生品味到运用转化方法能从（已知）长方形面积中推得（未知）平行四边形面积公式时，要求学生通过剪拼，在独立思考中解决三角形、梯形的面积公式，实现自行转化策略解决问题。

在平时的教学中，我们可以精心设计此类问题，引导学生多角度思考，在动态变换中获取问题解决的途径，锻炼学生的数学思维能力。

四、假设

假设法解题是奥数学习中一种常用的思维方法。假设法要求题中要有两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。假设法对解鸡兔同笼问题特别适用。

例如：笼子里有鸡和兔共30只，共有70条腿，问鸡和兔各有几只？

此题无论是从条件出发用综合法去解答，还是从问题出发用分析法去解答，都很难求答案。因此，我们可以假设30只全是鸡，则脚的只数应为60只，比题目中的70只少了10只，因为每只鸡比兔少2只脚，所以10只脚就有10÷2=5（只）兔。列式：30×2=60（只）70-60=10（只）4-2=2（只）10÷2=5（只）30-5=25（只）答：兔有5只，鸡有25只。此题也可以假设全是兔，如果全是兔，则脚的只数为30×4=120（只），比题目中的70只多了50只，因为每只兔比鸡多2只脚，所以50只脚就有50÷2=25（只）鸡。

假设法解题会出现数量上的差异，此刻再进行合理调整，就能分别解答几个不同数量的答案了。

五、倒推

数学教学中，有时也需要用倒过来推想的策略分析数量关系，这对发展学生的逆向思维是有价值的。所谓倒推有两个方面的含义：一是思维的倒推——即通过学生的逆向思维将问题进行倒推；二是计算的倒推——即计算时通过计算性质的变化进行倒推。

例如：工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下的一半还少1千米，还剩20千米没有修完，公路全长是多少千米？从“第二天修了余下的一半还少1千米，还剩20千米”往前推算，20-1=19（千米）正好是第一天修后余下的一半，第一天修后余下的是19×2=38（千米）。再从“第一天修了公路全长的一半还多2千米”往前推，第一天修后余下的38千米加上2千米，得到38+2=40（千米），就是公路全长的一半，那么公路全长的是40×2=80（千米）。

再如：某人在演算一道题时，应该将一个数用5乘，再被3除，但是他误用3乘，再被5除，因此得到45。正确的得数应该是多少？解答这题应该从逆运算关系求出原数（45×5÷3）×5÷3=125。用倒过来想的方法解答此类题型就显得非常简单了。

著名数学教育家波利亚说过：解决问题是指在没有现成的解题方法时，寻找一条解题途径，是从困难中找到出路，寻找一条绕过障碍的道路，达到最终的解决问题。而策略的教学就是学生在学习解决问题的过程中来提升而来的，因此，解题策略是多样的、灵活的。教师在教学过程中，要增强学生应用解题策略的意识，加大学生体验成功的频率，提高他们利用数学解题策略的能力，达到“学以致用”的目的，促进学生数学素质的综合性提高，实现“柳暗花明”的效果。