复值函数的导数及其应用

□陈 欢

（陕西国际商贸学院基础部 陕西 咸阳 712046）

复值函数的导数及其应用

□陈 欢

（陕西国际商贸学院基础部 陕西 咸阳 712046）

本文研究了复值函数的分析性质,提出了复值函数单侧导数的概念。给出了复值复合函数的求导法则。证明了复值函数在一点可导必连续。给出复值函数在求解中的应用例子。

复值函数；复合复值函数；复值函数单侧导数；复值复合函数的导数

1 复值函数的概念

根据实值函数的概念，引入复值函数的概念与复合复值函数如下：

定义1.1[3]设y=φ(t)和y=ψ(t)是区间[α,b]上的实函数，是虚数单位. 如果对于区间[α,b]中的每一个实数t，有唯一复数z(t)=φ(t)+iψ(t)与它对应，则称在区间[α,b]上给定了一个复值函数，记作z=z(t)，tє[α, b].

定义1.2（复合复值函数）设有一个复值函数w=f(u)与实函数u=φ(t)

w=f(u),uєD⊂R,

u=φ(t),tєE⊂R,uєR

记E*={t|φ(t)єD}∩E。若E*不为空，则对每一个t єE*，可通过实值函数u=φ(t)对应D内唯一的一个值u，而u又是通过复值函数f(u)对应唯一的一个值w。这就确定了一个定义在E*上的复值函数，它以t为自变量，w为因变量，记作

w=f[φ(t)],tєE*或w=(f ◦φ)(t)，tєE*

称为复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合函数。并称f(u)为外函数，φ(t)为内函数，u为中间变量。复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合运算也可记为f ◦φ。

定义1.3 设z(t)=φ(t)+iψ(t)是定义在区间α≤t≤b上的复值函数，若φ(t)和ψ(t)均是α≤t≤b上的有界函数，则称z=z(t)是α≤t≤b上的有界复值函数。

2 复值函数的导数

定义2.1（在一点可导） 设复值函数z=z(t)在区间[α,b]的某个邻域U(t0)上有定义，若极限

存在，则称复值函数z=z(t)在t0处可导，并称该极限为复值函数z=z(t)在点t0处的导数，记作z'(t0)或者dz(t0) /dt。

定义2.2（单侧导数）设复值函数z=z(t)在区间[α, b]上一点t0的某右邻域[t0,t0+δ]上有定义，若右极限

存在，则称该极限值为z=z(t)在点t0的右导数，记作z'+(t0)。

右导数和左导数统称为单侧导数。

定义2.3（在区间上可导） 如果复值函数z=z(t)在区间[α,b]上每一点都可导，且在α点存在右导数，在b点存在左导数，那么就称复值函数z=z(t)在区间[α,b]上可导。

设z1(t)，z2(t)是定义在区间α≤t≤b上的可导复值函数，c是复值常数，容易验证下列复值函数的求导法则[3]：类似的，可定义左导数

3 复值复合函数的导数

定理4.1 设实函数u=r(t)在点t0可导，复值函数g=z(u)在点u0=r(t0)可导，则复值复合函数(z ◦r)(t)在t0可导，且

(z ◦r)'(t0)=z'(u0)r'(t0)=z'(r(t0))r'(t0)

定理4.2 复值函数z=z(t)在t0处可导，则它在t0处连续。

例4.1 讨论复值函数z(t)=1/t2+iet在t=1的连续性。

解 因为实函数φ(t)=1/t2和实函数ψ(t)=et在t=1处均是可导的，所以z(t)=1/t2+iet在t=1处可导，根据定理3.4可知z(t)=1/t2+iet在t=1的连续性。

结束语

本文首先引入复值函数的概念，给出了复值函数连续、单侧导数的概念以及复值复合函数的求导法则。可导性是复值函数的一个重要性质，本文还给出了复值函数在一点可导必连续，具有重要的应用价值。

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

1004-7026（2017）10-0126-01

O174.1

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.091

陕西国际商贸学院校级项目（SMXY201642）。

陈欢（1989-），女，陕西汉中人，硕士，助教,从事小波分析的研究。