有界线性算子的a-Weyl定理及亚循环性

杨国增，孔莹莹，曹小红

1)郑州师范学院数学与统计学院，河南郑州 450044；2)陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062

【数学与应用数学 / Mathematics and Applied Mathematics】

有界线性算子的a-Weyl定理及亚循环性

杨国增1，孔莹莹2，曹小红2

1)郑州师范学院数学与统计学院，河南郑州 450044；2)陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062

线性算子理论；a-Weyl定理；逼近点谱；亚循环算子；算子函数；Fredholm算子；谱集；Browder谱

设H为无限维复可分的Hilbert空间，B(H)为H上的有界线性算子的全体．对于T∈B(H)， 令N(T)和R(T)分别表示算子T的零空间和值域，若R(T)闭且n(T)=dimN(T)有限，称T为上半Fredholm算子；若R(T)有有限的余维数d(T)=dim(H/R(T))=codimR(T)， 则称T∈B(H)为下半Fredholm算子．若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子，则T∈B(H)称为Fredholm算子．对于半Fredholm算子，其指标定义为ind(T)=n(T)-d(T)． 其中，n(T)和d(T)分别为算子T的零空间维数和值域的余维数．特殊地，当n(T)=0且R(T)闭时，称T为下有界算子．指标为0的Fredholm算子称为Weyl算子．算子T的升标asc(T)为满足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数，若这样的整数不存在，则记asc(T)=∞； 算子T的降标为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非负整数，同样若这样的整数不存在，则记des(T)=∞． 当T为有限升标和有限降标的Fredholm算子时，称T为Browder算子．

对T∈B(H)，记σ(T)，σw(T)，σp(T)，σa(T)，σb(T)，σab(T)、σSF(T)和σea(T)分别表示算子T的谱、Weyl谱、点谱、逼近点谱、Browder谱、Browder本质逼近点谱、半Fredholm谱和本质逼近点谱.记ρ(T)=Cσ(T)、ρa(T)=Cσa(T)、ρb(T)=Cσb(T)、ρab(T)=Cσab(T)、ρSF(T)=CσSF(T)、ρea(T)=Cσea(T)． 令Pab(T)={λ∈σa(T):T-λI为上半Fredholm算子，且asc(T-λI)<∞}， 将T的正规特征值记作σ0(T)， 即σ0(T)=σ(T)σb(T)． 对K⊆C， isoK表示集合K的孤立点集， accK为K的聚点的全体；为单位圆盘；为单位圆周.

设H(T)为在σ(T)的一个邻域上解析,但在σ(T)的任一个分支上不为常值的函数全体．本研究用谱集σvaw(T)刻画了对任意f∈H(T)，f(T)满足a-Weyl定理的判定方法，进而给出当T为亚循环算子时，f(T)满足a-Weyl定理的充要条件.

1 预备知识

令T∈B(H), 若σ为σ(T)中的一闭开子集,则存在一个解析的柯西邻域Ω满足σ⊆Ω， 且

(1)

(2)

按Ω的正向积分，又令H(σ;T)=R(E(σ;T))． 显然，若λ∈isoσ(T)， 则{λ}为σ(T)中的闭开子集，记H({λ};T)为H(λ;T)； 除此之外，若dimH(λ;T)<∞， 则λ∈σ0(T)[11]．

为便于证明，本研究首先给出引理1至引理3．

引理1[12]设T∈B(H)， 若σ(T)=σ1∪σ2， 其中，σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集且σ1∩σ2=∅, 则

(3)

且T的分解为

(4)

其中，σ(Ti)=σi(i=1, 2)．

引理2[13]设T∈B(H)， 若asc(T)≤p(p为某个非负整数)，则N(Tk)∩R(Tp)={0}． 其中，k=1, 2, …．

引理3[14]设T∈B(H)， 若λ∈isoσ(T)，则下列叙述是等价的：①λ∈ρSF(T)； ②λ∈ρw(T)； ③λ∈σ0(T)．

2 定理与证明

定理1 设T∈B(H)， 则下列叙述是等价的：

1)σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理；

2)ρvaw(T)={λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)；

3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．

【证】首先证明 1)⟹2)．这只需证明

ρvaw(T)= {λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(5)

假设λ∈ρvaw(T)且λ∉ρ(T)， 则根据引理2，n(T-λI)<∞且λ∈isoσa(T)∪ρa(T)， 由于σ(T)=σa(T)， 则有λ∈isoσ(T)． 若n(T-λI) =0， 则λ∈{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}； 若0

其次，证明 2)⟹1)．若T-λI为下有界算子，则λ∈ρvaw(T)． 当λ∈{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}， 根据引理3，λ∈ρ(T)， 这与λ∈isoσ(T)矛盾；而当λ∈σ0(T)，λ∈ρ(T)， 同样得到与λ∈σ0(T)矛盾．于是σ(T)=σa(T)．

最后证明 2)⟺3)．对2)中的等式变形，可得该式等价于

C=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(6)

上式等价于σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．

注解1

1) 在定理1中，σ(T)=σa(T)是本质的．例如，设T∈B(l2)定义为T(x1,x2, …)=(0,x1,x2, …)， 则有σ(T)=，σa(T)=σea(T)=，∅， 以及ρvaw(T)={λ∈C于是可得σ(T)≠σa(T)，T满足a-Weyl定理，但因

{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪

(7)

则有

ρvaw(T)≠ {λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(8)

推论1 当且仅当σ(T)∈{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)时，σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理．

注解2

1) 在推论1中, 当σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理时，σ(T)为有限集．

推论2 当且仅当σ(T)为有限集且σp(T)=σ0(T)时，σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理．

下面给出算子函数满足a-Weyl定理的判断方法．

定理2 若σ(T)=σa(T)，则对任意的f∈H(T)，f(T)满足a-Weyl定理当且仅当下列条件成立：

1) 对任意给定f∈H(T)， 有f(σvaw(T))⊆σvaw(f(T))；

2)T满足a-Weyl定理；

3)σa(T)=σea(T)或ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)．

【证】 必要性.

由于f(T)满足a-Weyl定理，根据引理2，则μ0∈isoσa(f(T))∪ρa(f(T))．

设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)， 其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i,j≤k)，g(T)可逆． 若μ0∈ρa(f(T))， 则λi∈ρa(T)，λi∈ρvaw(T)， 故μ0∉f(σvaw(T))； 若μ0∈isoσa(f(T))， 则λi∈isoσa(T)∪ρa(T)． 又因n(T-λiI)

条件 2)显然成立．

条件 3)分两种情况讨论．

令σ1={λ1}，σ2={λ2}， 则σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集，根据引理1，T有分解

其中，σ(T1)={λ1}；σ(T2)={λ2}；σ(T3)=σ(T){λ1,λ2}；M为H(λ1;T1)与H(λ2;T2)的正交补空间．

令f(T)=(T-λ1I)(T-λ2I)， 由于

充分性.

事实上，设f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且ind (f(T)-μ0I)≤0， 并设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)， 其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i,j≤k)，g(T)可逆． 由μ0∉σvaw(f(T))可知

λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪{λ∈isoσa(T):

n(T-λI)=0}∪Pab(T)

(9)

综上可知，对任意给定的f∈H(T)，f(T)满足a-Weyl定理．

下面研究算子的亚循环性与a-Weyl定理的关系．

注解3

例如，设T∈B(l2)定义为T(x1,x2, …)=(0,x1,x2, …)， 通过计算可得σ(T)=σw(T)=，σa(T)=σea(T)=，∅，σ0(T)=∅，σvaw(T)=． 于是有但T满足a-Weyl定理．

定理3 设T∈B(H)， 则下列叙述等价.

3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}，且σw(T)∪∂连通；

4)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}， 且σ(T)∪∂连通；

5)ρvaw(T)=ρ(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}， 且σw(T)∪∂连通．

【证】2)⟺ 3)．

由于σ0(T)=σ0(T)∩σ(T)， 而σ0(T)∩σvaw(T)=∅，σ0(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}=∅，于是有σ0(T)=σ0(T)∩σ(T) =∅．

又由于ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]∪[ρSF(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}]， 而[ρSF(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}]=∅， 于是有ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]．

1)⟹ 2)，显然成立．

(10)

(11)

同理可知，λi∈isoσ(T)∪ρ(T)， 其中2≤i≤m. 显然，n(T-λiI)≤n(f(T)-μ0I)<∞． 因此λ0∉isoσvaw(T)， 1≤i≤m． 于是有任给f∈H(T)，f(σvaw(T)) ⊆σvaw(f(T))． 根据定理2，任给f∈H(T)，f(T)满足a-Weyl定理．

3)⟺ 4)．因为σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0} 而σw(T)∩σvaw(T)=σvaw(T)，σw(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}={λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}，则σw(T)=σw(T)∩σ(T)=σ(T)， 故结论成立．

4)⟺ 5)显然成立．

推论3 下列叙述是等价的.

3)σ(T)={λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}且σw(T)∪∂连通．

推论4 下列叙述是等价的.

3)σ(T)为有限集，σp(T)=∅且σw(T)∪∂连通．

因此可证明，在推论4中，“σw(T)∪∂连通”可改为“σ(T)∪∂连通”．

结 语

本研究基于新定义的谱集σvaw(T)， 给出了对任意的f∈H(T)，f(T)满足a-Weyl定理的判定方法，进而研究了当T为亚循环算子时，f(T)满足a-Weyl定理的充要条件．下一步，我们将对一般的算子T的函数演算满足Weyl’s定理进行刻画．

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【中文责编：英 子；英文责编：木 南】

2016-12-22；Accepted：2017-04-18

Professor Cao Xiaohong. E-mail: xiaohongcao@snnu.edu.cn

A-Weyl’s theorem and hypercyclic property for bounded linear operators

Yang Guozeng1, Kong Yingying2, and Cao Xiaohong2

1)School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Zhengzhou 450044, Henan Province, P.R.China； 2) Shaanxi Normal University, Institute of Mathematics and Information Science, Xi’an 710062, Shaanxi Province, P.R.China

linear operator theory; a-Weyl’s theorem; approximate point spectrum; hypercyclic operators; operator function; Fredholm operator; spectrum set; Browder spectrum

：Yang Guozeng, Kong Yingying, Cao Xiaohong. A-Weyl’s theorem and hypercyclic property for bounded linear operators[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(4): 372-377.(in Chinese)

O

A

10.3724/SP.J.1249.2017.04372

国家自然科学基金资助项目(11471200)

杨国增(1980—)，男，郑州师范学院讲师．研究方向：泛函算子理论．E-mail：ygz_0907@163.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China (11471200)

引 文：杨国增，孔莹莹，曹小红．有界线性算子的a-Weyl定理及亚循环性[J]. 深圳大学学报理工版，2017，34(4)：372-377.