一类非线性泛函微分方程多个正周期解的存在性

白星华

(阳泉师范高等专科学校 数学系, 山西 阳泉, 045200)

一类非线性泛函微分方程多个正周期解的存在性

白星华

(阳泉师范高等专科学校 数学系, 山西 阳泉, 045200)

用A Very-Henderson不动点定理考虑一类带有时滞的泛函微分方程多个正周期解的存在性问题, 得到此类方程存在多个正周期解的充分条件, 并获得了这些正周期解的一些性质。在现有研究的基础上, 推广了此类泛函微分方程的形式, 放宽了存在多个正周期解这一结论成立的条件, 扩大了正周期解存在性证明的适用范围。

泛函微分方程; 正周期解; 不动点定理

泛函微分方程又称时滞微分方程, 一般形如x'(t)=f(x(t),x(t-θ),t ), 其中θ∈(0,r)表示时滞。泛函微分方程中时滞变量的引入使此类模型所反应的问题更为真确, 接近现实, 因此其已经广泛应用到经济学、生态学、病理学、气象学、电子学等学科中[1]。近年来, 人们用Mawhin重合度理论延拓定理[2]、指数二分性理论以及Krasnosel’skii不动点定理等不同办法研究泛函方程周期解的存在性问题[3–4]。文献[5–6]利用Krasnosel’skii不动点定理, 考虑了x'(t)=-a(t) x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t )))的正周期解。结合不动点定理, 文献[7]针对方程x'(t)=-a(t) g(x(t)) x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t )))做了研究, 得到存在多个正周期解的充分条件。以上结果都对f0与f∞做了限制, 其中。然而, 关于这2个方程周期解的存在性问题, 与f0或者f∞无关的结果并不多见。文献[8]研究了x'(t)=-a(t) g(t, x(t))⋅x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t)))正周期解的存在性, 并且研究结果不依赖f0与f∞。

本文将研究更一般的非线性泛函微分方程

正周期解的存在性。

对于方程(1), 给出下列条件:

(H1) a∈C(R,[0,+∞))与σ∈C(R, R)都是ω-周期函数,;

(H2) f∈C(R×[0,∞),[0,∞)), 且f关于第一个变量t是ω-周期函数。g∈C(R×[0,∞),[0,∞)), 且0＜l≤g(t, u)≤L＜∞, g(t+ω，u)=g(t, u), t∈R, u≥0,其中l, L为两个常数。记, 对0≤α≤β, 记。

另外, 设X是一个实Banach空间, P⊂X是一个锥, φ是P上的一个非负连续的递增函数, d＞0,记P(φ,d)={x∈P:φ(x)＜d }, ∂P(φ,d)={x∈P:φ(x)=d },。

1 引理及证明

引理1(A very-Henderson 不动点定理[9]) 设X是一个实Banach空间, P⊂X是一个锥[10], φ, v是P上的2个连续函数, 而且在P上非负、递增。θ是P上连续的非负函数, θ(0) = 0, 且存在常数m＞0,M＞0,使得ν(x)≤θ(x)≤φ(x),。若存在全连续算子及0＜h＜k＜m, 使得θ(px)≤pθ(x ),0＜p＜1,x∈∂P(θ,k )且(i) v(Tx)＞m,∀x∈∂P(v, m); (ii) θ(Tx)＜k,∀x∈∂P(θ,k); (iii) φ(Tx)＞h, 且P（φ,h)≠Φ,∀x∈∂P(φ,h), 则至少存在2个不动点,满足h＜φ(x1),θ(x1)＜k＜θ(x2),v(x2)＜m 。令Banach空间X={x∈C(R, R):x(t+ω)=x(t), t∈[0,w]},其范数为。 定义X上的锥, 其中β=(σl-1)/[σL(σL-1)]。易知, β∈(0,1)。定义X上的算子, 其中, s∈[t, t+ω]。由于x是ω-周期函数, Gx(t+ω,s+ω)=Gx(t, s),且1/(σL-1)≤Gx(t, s)≤σL/(σL-1),t≤s≤t+。若x是Tλ在P上的一个非零不动点, 则对任意的t∈[0,ω], 有x(t)-λf(t, x(t-σ(t ))), 则x是方程(5)的正ω-周期解。

引理2 若(H1)、(H2)成立, 则Tλ： P→P全连续。

2 主要结果

定理设(H1)、(H2)成立, 若存在正数h, k, m满足h＜k＜βm, 且, 则方程(1)至少有2个正ω-周期解,使得。

[1] 高隆昌. 数学及其认识[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 228–229.

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(责任编校: 刘刚毅)

Multiple positive periodic solutions for a class of nonlinear functional differential equations

Bai Xinghua
(Mathematics Department, Yangquan Teachers College, Yangquan 045200, China)

The existence of multiple positive periodic of a class of functional differential equation is explored with delay pan by using the A very-Henderson fixed point theorem. Sufficient conditions for the existence of multiple positive periodic solutions and some properties of these periodic solutions are obtained. On the basis of existing research, the functional differential equation of the form is generalized, and the establishment condition of the multiple positive periodic is relaxed, which expands the scope of the proof of the existence of the positive periodic solution.

functional differential equation; positive periodic solutions; fixed point theorem

O 175

: A

1672–6146(2017)03–0001–03

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.001

白星华, 19751266@qq.com。

: 2017–05–19