儿童数学思考如何深刻与理性起来

刘玮

思考是儿童数学认知过程中的本质特点，深刻而有理性的思维是人的核心素养之一。但在现实的数学课堂教学中，儿童数学思考的消极性、随意性和浅表性等现象还不同程度地存在。以《乘加乘减》的教学为例：

教师先出示问题情境：5个鱼缸，分别有5条、5条、5条、5条、4条金鱼。

师问：孩子们，要想知道5个鱼缸共有多少条金鱼用什么方法呢？

生1答：加法。

师：怎么加呢？我们今天学的可是乘加乘减啊。

生2答：就是先乘再加。

师问：你说得真好，你能列个式子吗？

生3答：能。Sx4+4。

师：对的。当我们遇到这样的题目时，首先要去看有几个几，再与另一个数相加减。我们一起来读一下好吗？

生齐读：先算几个几，再加减。

从上述教学过程可见，教师围绕“乘加乘减”的教学任务，把“共有多少条金鱼”的问题分解成一个个细碎的问题。在线性的问答中，学生的思维始终被牵引前行，最终在“先乘后加减”的齐读中完成新知识的学习，而那些在开放情境中“5xS -1”“6x4+0”等有可能出现的思维火花，因为思考空间的封闭而熄灭。其实，教师用线性的思维方式在把一个富有开放性的问题切割成一个个琐碎的小问题时，也就封闭了儿童发散性思维的空间，有深度和广度的思维品质就这样被困厄在思维的窠臼中。

此外，导致问题产生的原因还包括儿童数学思考过程的缺省、数学思考结构的模糊、课堂教学空间的封闭，等等。这些都需要我们学会真正站在儿童的立场，让儿童从自己的数学现实出发，经历数学知识“再创造”的过程，在“做”中学，在“问”中学，在“思”中学，不断帮助儿童的数学思考走向深刻与理性。

由定到变，激活儿童的数学思考

克莱茵说：“数学是一种精神，一种理性精神。”数学的理性精神蕴含着无限的智慧，有的表现着规定的理性，有的表现着变化的理性。[1]数学教学中，我们需要培育学生问题思考的有序性，也要培育学生问题解决的灵活性。从有序的“规定”到看似无序的“变化”，往往能激发学生的认知冲突和解决问题的欲望。学生在这种心求通而不能、口欲言而弗达的“愤悱”之中，思维的火花被点燃，主动积极思考成为可能。

特级教师周卫东在教学《三角形的三边关系》一课时，出示了这样的一道探究题：“有两根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，你能将它们围成三角形吗？有几种可能？”

学生探究后回答有4和5、3和6、2和7时，教师又变换问题，你能把这3种情况的图形画出来吗？学生畫出3种图形。

接着，周卫东又提出变化的条件，“如果考虑小棒的长度是小数，可能有多少种三角形呢？学生的思维开始弥散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等无限多种可能。

此后，教师再次激发学生在想象的基础上画出这些图形的景象，学生画出图示。如图：

一个又一个变化的问题，激活了学生的数学思维。在这个一层深过一层的追问中，学生在加深对三角形三边关系理解的同时，更在潜移默化中受到了极限、对应、函数等数学思想方法的浸润。

也正是因为有了这种不断逼近数学本质的追问，学生的思维走向了更远的地方。第二天的数学课上，一个学生用一根筷子和一根橡皮筋演绎了本课教学发展性的精彩，在进一步理解三角形三边关系的基础上图示了椭圆的轨迹运行。如图：

在这个教学过程中，教师没有止步于一定的三种边长为整数的图形可能，而是在从整数变小数、从数字变图形的多层次变式中，引导儿童对问题进行积极思考，并在逐步深入的探究活动中，激活儿童的数学思考，引领儿童经历问题发现、知识发生、思维发展的全过程。即便是在此课教学后的第二天，儿童仍沉浸在探究与思考的氛围中，从而自然而然地引出了对椭圆轨迹图示的前认识。从定到变，儿童深化理解的不仅是三角形三边关系的认识，还多了一回科学精神理性思考的深度体验。

由点到面，生长儿童的数学思考

以教学《用字母表示数》为例，课一开始，教师通过招领启事引出“字母可以表示数”，接着顺次引导学生展开对“所有的字母都可以表示数、字母可以表示已知的数、字母可以表示未知的数、含有字母的式子可以表示数、含有字母的式子还可以表示数量关系”的探索。从具体的数，到用字母表示数，再到含有字母的代数式，是学生思维从一个个具体的点向知识的面汇聚的过程，也是学生思维从具象向抽象生长的过程。

前孕伏，将抽象的问题具体化

课前环节，教师和学生一起玩扑克24点游戏（A、2、3、4；4、8、10、Q），问学生你们是怎么算m来的。引入环节，出示失物招领启事，启发学生思考“A”表示什么、为什么用“A，表示等问题。

招领启事

本人今天在公园拱桥处捡到一个黑色提包，内有现金A元，请失主到景区派出所认领。

张先生

2016.8.16

这一环节的设计意图是让儿童知晓生活中用字母表示数的实践应用，并在具体情境中理解字母表示数的意义，体会用字母表示数的必要性。

中建构，将零碎的问题系统化

建构1：围绕A可以表示丢失的金额数，教师抛出问题“A可以表示丢失的金额数，B、C、Y等可不可以？”在讨论中学生得出“所有的字母都可表示数”的结论。

建构2：围绕丢失的金额数，教师又抛出问题“这里的A表示的金额数目，真的没有人知道吗？谁知道？谁不知道？”通过讨论，学生得出”字母可以表示未知数，也可以表示已知的数”的结论。

建构3：出示探究题：无锡到南昌铁路全长769千米，一列火车从无锡开往南昌，你能用式子表示行驶了一段路程后剩下的千米数吗？

已经行驶了60千米，剩下的千米数是769-60；

已经行驶了150千米，剩下的千米数是769-（ ）；

已经行驶了b千米，剩下的千米数是（

）。

在学生说出“剩下的千米数是769-b”时，引导学生归纳出“不仅是字母可以表示数，含有字母的式子也可以表示数”的结论。其中，教师还设计了“769-b”式子中b的取值范围的讨论，蕴含了函数定义域思想的渗透，学生对“符号化”的理解在深入探究中走向主动建构。

后拓展，进一步将“用字母表示数”深度数学化

在此环节，教师先出示果汁分倒的情景图。如图：

接着引导学生将实际问题抽象成数学问题，剥离出数量关系，并用字母表示出150-3a-60的等量关系，这一含有字母的等式即是描述客观现象相等关系的数学模型，亦即方程。此环节的设计既是用字母表示数教学的深化，也是加深列方程解答实际问题的本初体验，是下一阶段列方程解决实际问题教学的铺垫。

这一课的教学，教师没有纠结于用字母表示数方法的学习，更多的是转向对用字母表示数关系的探讨。教学中着力于使学生充分感受到符号及符号化的便利，并及早孕伏代数的思想方法，意在消弭中小学数学教学之间的裂隙，加强小学初中两个学段之间数学教学的衔接。在“字母可以表示数、所有的字母都可以表示数、字母可以表示已知的数、字母也可以表示未知的数、含有字母的式子可以表示数、含有字母的式子还可以表示数量关系”一系列点状的问题探讨中，学生的思维经历了从具体的数到用字母表示数、再到含有字母的代数式的数学化过程，正是在一次次这样的经历中，儿童的数学思考由点到面不断生长，思维能力不断提高。

由浅入深，深化儿童的数学思考

柏拉图说：“我们应该区分两种不同的存在——经验的存在和理性的存在。经验的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”可在我们的小学数学教学中，常常见到经验对理性的干扰和遮蔽现象。以《三角形稳定性》的教学为例，教材上对三角形稳定性的定义，是指三角形在外力的作用下，三角形具有形状和大小都不易变化的性质，即保持相对稳定的原有状态。但在笔者所听的30余节《三角形稳定性》课堂教学中，教师们无一例外地以“看能否拉得动”的经验来引领学生对三角形稳定性的理解和认知，这种缺乏对数学知识本质探索的教学假象，不断弱化着儿童数学思考的深刻性和理性。

事实上，如果我们用同样的木质材料分别制作一个三角形和一个四边形器具，其相邻两边相交处是可动的。先来引导学生拉扯三角形学具，学生容易从中得到三角形稳定性的理解。接着让学生去拉四边形学具，孩子们由“四边形可以拉动”得出“四边形不具有稳定性”的认知理解。一般来讲，课至此处已近目标，但就对知识的理性思考来讲，尚远远不及。我在教学中，又带领学生进行了深入的探究。

在孩子们操作感知两边相交点可以动的三角形和四边形学具后，我又出示了用铁质材料焊接两边相交处不可以动的四边形学具，再让孩子们动手拉。

师：这个四边形拉得动吗？

生：拉不动。

师：拉不动，难道四边形也具有稳定性？

生：（疑惑不解）为什么有的拉得动，有的拉不动呢？

师：看来拉得动和拉不动并不是判断某种图形是否具有稳定性的根据。孩子们，我们换一种方式去探讨“三角形的稳定性”好嗎？

生：什么方式？

师：请你们先用老师给的学具小棒摆一个三角形和一个四边形，然后用同样的小棒再去摆一摆，最后我们看一看、比一比，同样的小棒能不能摆出不同形状的三角形和四边形？

在三轮操作中，孩子们对“三角形稳定性”的认识由浅人深。其中，他们不断去除三角形稳定性的非本质认识，渐趋接近对三角形稳定性的本质理解。在无疑处生疑，在疑生处探疑。通过操作、比较、交流，孩子们终于明白三角形稳定性的本质指的是形状和大小的唯一。三轮操作，孩子们经历了对规律的初步认知、对规律的怀疑、对规律本质的再认识3个阶段，此中的认知冲突、操作体验，不断地促进儿童数学思考深刻与理性的形成。作为教师，我们需要走出自我营造的经验世界，及时发现旧有经验对儿童数学思考的干扰与束缚，由浅入深，突破表层，引领儿童发现数学本质，把儿童带人深刻而又理性思考的数学美好世界中。

由学到做，优化儿童的数学思考

德国哲学家伽达默尔曾说过，视界是理解的起点、角度和可能的前景。儿童的数学视界亦是如此，它总是在不断的变化与形成过程中和周遭发生着联系与交融。实践告诉我们，儿童数学学习的过程一头连着个体内在已有的数学现实，一头又连着儿童外在的可能触摸到的视界。在儿童数学学习过程中，如果儿童处于凭借自己思考已不能解决遭遇的问题时，我们就需要引领儿童在动手实践中去“做数学”，从而实现动手实践与数学思考共生的“视界融合”。[2] 在人教版五年级《数学》下册的第37页，有这样一道题目：“茶厂工人要将长、宽各为20cm，高为10cm的长方体荼盒装入棱长为30cm的正方体纸箱，最多能装几盒？怎样才能装下？”

在实际教学中，学生从已有的数学现实出发，遭遇了问题解决的困境。

师：孩子们，这道题我们怎么去解答呢？

生甲：先算出大纸箱的体积，再算出茶盒的体积，两者相除。列式为30x30x30÷（ 20×20×10）=6……3000，所以说大约能装6盒。

生乙：我也是这样想的，但我想不出来怎么把6个荼盒放进去。也许，6盒是放不进去的。

生丙：只能放5个茶盒。我是用画图的方法，6盒放不下。

师：同学们的意见不相同吗！用计算的方法可以知道放6盒还有剩余的空间，但是有的同学用画图的方法，好像又放不进去。究竟能放几个荼盒？有人说放5个茶盒，可大纸箱27000立方厘米，5个茶盒共20000立方厘米，余下7000立方厘米，难道真的放不下一个4000立方厘米的茶盒了吗？

众生争执不休。

可以说，此时的孩子正在自己已有的数学现实里思考，即便是对通过计算得出的答案也开始了怀疑。当空间想象式的思考不能解决面临的问题时，我们需要把孩子的思维引入另外一个视界，即实践视界。

师：孩子们，对于这道题，大家的意见不能统一，那我们就动手研究。今天回家的作业就是每人做一个与题目中相同尺寸的纸箱和茶盒，然后亲手摆一摆，看一看空间能放几个这样的茶盒。

第二天的数学课上，教师让孩子们交流大家的发现。孩子们通过实践操作，得到了“纸箱最多可放6个茶盒”的结论。

当儿童的数学思考遭遇阻碍时，教师需要相机转变教学方式，把学生从自我内在的视界引向现实外在的视界，在开放的数学活动实践中引领儿童开展积极而有价值的思维探索。[3]唯有如此，儿童数学才能走出狭隘、封闭、守旧的教学范式，从而在开放而又富有探索意味的教学过程中优化学生的思维品质。因为教学空间的开放，因为有对问题答案的质疑，因为有对问题的实践验证，儿童的数学思考由此走向深刻，走向理性。

注释：

[1]郑毓倍数学崽想、数学活动与小学数学教学[J].课程·教材·教法，2008（5）

[2]乔海兵，刘晓勇.动中取静，激活儿童的数学思考[J].数学大世界，2016 （4）

[3]G波利亚怎样解题：数学思维的新方法[M].徐泓，冯承灭，译.上海：上海科技教育出版社，2011； 59