从上海经验看中国式数学课堂的典型特征

吴颖康 鲍建生

2009年的国际学生评估项目（PISA）结果公布后，上海的基础教育成为了许多国家研究的热点。其中，上海的数学基础教育又成为热点中的焦点。一方面，数学是科学技术的基础，是现代公民的必备素养；另一方面，数学也是中小学课程中最能够达成国际共识的一门核心学科。许多西方媒体中的“中国式数学课堂”并非上海所独享，但我们有理由相信，上海有自己的特色。

一、中国式数学课堂的特征

1.关注全体学生的发展，因材施教。

在数学课堂教学中，“材”的理解可以很宽泛，因材施教的含义可以拓展为针对学生的认知特点和具体教学内容的要求，教师从个人的教学专长出发，选取恰当的教学方法进行教学。上海的数学课堂教学以学生的数学发展为本，在关注中间水平学生的同时兼顾两头，从学生的实际情况出发进行教学。

2.突出数学的学科本质，循序渐进。

孔子在《学记》中说教育成功有四个原因，其中之一是“不陵节而施之”，即为要循序渐进。从整体来看，它的确整合了数学学科发展的逻辑顺序、学生数学学习的认知规律和数学学科的历史发展顺序。从局部来看，每一堂数学课的教学也符合数学知识结构和学生认知方式所提出的“序”的要求。

3.优化传统的教学经验，教无定法。

中国教师善于从教学实践经验中总结和提炼教学方法及模式。尽管上海已经有了青浦的尝试指导教学模式、杨浦的基本图形分析法等，但是在课堂还是可以看到灵活多样的教学模式。这正是基于因材施教的教学思想，不同课型、不同学生、不同教学内容，需要不同的教学方式。同课异构已成为教研活动的重要组织形式，通过对两个或两个以上教师基于相同教学内容但不同教学设计的课堂教学的观摩和讨论，能分享看法，促进反思，提高教师的专业素养。

4.鼓励教师的课堂研究，教学相长。

教师应该成为研究者，学会分析诊断课堂教学中的具体问题，提出改进方案，并加以实施改进。上海市教育科学研究院顾泠沅教授提出了一种以课例为载体，在教学行动中开展教学研修，包含三关注两反思”操作活动的行动教育模式。另外，教学相长的理念是中国传统教学思想的重要特征之一。李士和代钦指出，教学相长至少有以下三层意思：教与学是互相促进的，教师与学生是互相促进的，教师的教与教师本人的学是互相促进的。

二、典型的中国数学教学模式：变式教学

变式教学在中国由来已久，被广大数学教师所运用，其中不乏经验性教学研究，但系统梳理数学变式教学的实践经验，并在针对性教学实验的基础上进行理论分析，则起始于上世纪70年代末的“青浦实验”。

1.“青浦实验”的变式教学

为了实现“大面积提高教学质量”的目标，由顾泠沅主持的“青浦实验”小组在广泛筛选经验的基础上，对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分析。这项研究主要涉及两个方面的工作：一是对传统教学中的概念变式进行系统的恢复与整理；二是将概念变式推广到过程变式，从而使变式教学既适用于数学概念的多角度理解，也适用于数学问题解决的有层次的推进和数学活动经验的增长。

“青浦实验”对变式教学的研究源自几何教学。在上世纪七八十年代，几何概念是一个普遍的教学难点，顾泠沅的研究表明，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：直观的图形经验、概念的词语叙述、概念所包含的图形变式。因此，“青浦实验”小组提出了几何概念变式教学的两条策略：通过图形的变式与比较，凸显概念的本质属性；通过背景的复合与分离，建立概念的多角度理解。

在数学教学中，除了概念教学外，还包括数学活动经验的教学。由于数学活动经验通常镶嵌在动态的数学过程之中，而静态的概念变式难以反映这种动态的特征，因此，顾泠沅提出了过程变式的概念，并通过实验总结出过程变式教学的两条策略：通过变式铺垫与化归，提高问题解决的效率；通过典型例题的分类与关联，实现核心知识的融会贯通。

2.变式教学的基本策略

在“青浦实验”的推广过程中，上海市青浦区及其他区县出现了一大批数学变式教学的有效设计和典型案例，并提炼出一些变式教学的有效策略。

第一，通过概念变式，帮助学生多角度理解数学概念。数学概念是一种外延性概念，每个概念都可以用一个集合来表示，即数学概念可以表示为一个具有某个本质属性p的所有样例x所组成的集合P。我们既可以通过概念的本质属性p来学习一个概念，也可以通过概念所包括的各种特例（集合元素x）来理解和运用概念，并建立概念属性与特例之间的各种联系，也由此产生了标准变式、非标准变式和反例变式。其中，概念的标准变式有利于学生对概念的准确把握，概念的非标准变式有助于多角度的理解概念，反例变式则有利于明确概念的外延，澄清概念与非概念的本质区别。

第二，通過变式铺垫，在学生的最近发展区搭建合适的脚手架。搭建合适的教学脚手架是学生从事数学探究活动（做数学）的必要条件。上海的数学教学实践表明，通过设置奠基性的变式铺垫，有助于学生发现和提出高质量的数学问题，形成数学猜想，证明定理，使他们既可以亲历知识的形成过程，又可以充分体验解决问题的愉悦。

第三，通过过程变式，为数学问题解决提供化归的台阶。数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”。但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显的联系，因此要设置过程性变式在两者之间进行适当的铺垫，作为化归的台阶。运用变式为化归作铺垫，成为教师引导学生进行问题解决的关键环节。学生的数学活动经验在一定程度上就体现在变式问题的丰富性及化归策略的多样性上。

第四，通过典型例题的变式拓展，构建有层次的经验系统。在数学学习中，典型例题具有特殊的学习价值。以典型例题为核心进行适当的变式拓展，既有利于对数学概念和数学思想方法的深入理解，还可以增加活动途径的多样性和活动过程的层次性，围绕典型例题形成一个有层次的经验系统，成为认知结构的一个重要组成部分。用于构建特定经验系统的变式，通常来自典型例题的三种拓展：一题多变，既包括用于铺垫的变式，也包括对原问题的各种引申（如改变条件、改变结论、一般化等）；一题多解，将典型例题的不同解决过程作为变式，联结各种不同的解决方法，建立各种数学思想方法之间的联系；一法多用，将某种特定的方法用于一类基于典型例题拓展的相似问题，由此可产生用于引发化归或探究策略的变式。

三、需要进一步研究的问题

第一，构建具有中国特色的变式教学理论体系。从新世纪开始，顾泠沅领导的上海研究团队就开始对变式教学进行深入解读和理论分析，在国内外学术期刊和著作中发表了一系列研究论文。这些研究虽然在一定程度上给出了变式教学的合理解释和理论解读，但仍需要在实践经验的基础上，依据数学的学科特征，认知科学的研究成果以及中国的教育文化传统，对变式教学进行系统的理论分析和实证研究，形成具有中国特色的数学教学理论。

第二，超越双基，促进学生高层次数学思维能力提升。影响学生高层次数学思维能力的因素有很多，其中的两个关键因素分别是：开发需要高层次数学思维的各种数学探究任务以及实施这些任务的有效教学策略。虽然上海的一些区县和学校已经在这方面开展了有益的尝试，但目前仍存在把变式教学沦为单纯的变式训练的情况。因此，如何在“双基”的基础上，围绕数学的知识主干、核心概念和重要的数学思想方法进行变式拓展，开发具有高层次认知特征的数学探究活动，有计划地发展学生的高层次数学思维能力是上海中小学亟待解决的一个关键问题。

第三，协同班级授课与个别化学习。大班教学虽然是一种高效的教学模式，但也在一定程度上制约了学生的个性发展和特殊教育教学需求。因此，如何协同班级授课与个别化学习，在所有学生都受到良好教育的基础上，使不同的学生得到不同的发展，也是上海中小学数学教学所面临的挑战。个别化学习的一个核心问题是学生的自主学习和教师的精准帮助。要解决这个问题，不仅需要开发针对学生不同需求的数学课程与教学资源，而且需要教师知道如何利用这些资源激发学生的学习兴趣；不仅要求教师做到少教多学，鼓励学生自己学，教会学生如何学，还要在学生需要的时候以合适的方式和时机给予精准的帮助。近年来，上海开始了针对个别化学习的教学实验，如“电子书包”“茶馆式教学”等，但总体而言，仍缺乏系统的理论探讨和大面积的教学实验。