真分数的两项分拆方法

2017-07-12陈申宝史彦龙

纯粹数学与应用数学 2017年3期

关键词：真分数正整数因数

陈申宝, 史彦龙

(1.浙江工商职业技术学院,浙江宁波 315012;2.浙江医药高等专科学校,浙江宁波 315100)

真分数的两项分拆方法

陈申宝1, 史彦龙2

(1.浙江工商职业技术学院,浙江宁波 315012;2.浙江医药高等专科学校,浙江宁波 315100)

将真分数(m

真分数;两项分拆;互素因数法

1 引言

2 计算单位分数的两项分拆的常用方法

2.1 搜索法

设

搜索法直观可行,涉及数学知识很少,但当n很大时不但计算量极大,而且事先不知分拆有多少组,从而极易因计算失误而漏去分拆,因此不能视为理想的方法.

2.2 平方因数法

我们称n2的因数为n的平方因数.设即a=n+r

例如,对 n=12,n2=24×32,符合 1≤r<12的平方因数 r=1,2,3,4,6,8,9,分别代入a=12+r和中,即可求得与搜索法计算相同的7组分拆.

因为寻找平方因数时,能利用n2的初等分解式较快的求得,故计算量将大为减少,但仍不能防止因计算失误而产生的遗漏现象,究其原因是我们无法在计算分拆前就预知的值.

本文提出了一种创造性的计算两项分拆的方法–互素因数法.首先用初等方法证明了在的每组分拆F(a,b)与n的互素因数组⟨s,t⟩之间存在着一对应关系,进而依据n的标准分解就能直接推出计算的分拆组数Ω()的初等公式,从而能有效的防止出现遗漏现象.同时,以互素因数组⟨s,t⟩为工具,给出了计算真分数的两项分拆方法.

3 互素因数法

显然a和b都是正整数,且

故每组⟨s,t⟩都有惟一对应的一组分拆F(a,b),而且由于(s,t)=1,所以不同的⟨s,t⟩必对应不同的分拆,找出全部⟨s,t⟩,至少将求得的部分分拆。

例如，对n=12,可将它的全部⟨s,t⟩和算得的分拆列表(见表1）如下:

表1 的互素因数法两项分拆

组号 1 2 3 4 5 6 7s1111123 12 3 4a=12t2346t(s+t) 18 16 15 14 13 20 21b=tsa 36 48 60 84 156 30 28

将所得的分拆,按由a从小到大的顺序排列,其结果与前面两种算法完全相同.

设命题不大于k时已成立,则对k+1,原公式可分为两种情形:其一是对

对N1,可将其互素因数组分成两类,第一类不含新增的p,由归纳假设知,共有

因此命题对k+1也成立.

的值.

2按素数pi由小到大,由单字母因数到多字母因数的顺序找出全体⟨s,t⟩.

上述“2”和“3”两步可列表同时进行.又为防止计算错误,不妨再用平方因数法计算一次,看结果是否一致.

例3.1计算的两项分拆.

表2 的互素因数法两项分拆

组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1t 2 22 3 5 2×3 22×3 2×5 3×5 22×5 2×3×5 22×3×5a=60st(s+t) 90 75 80 72 70 65 66 64 63 62 61b=tsa 180 300 240 360 420 780 660 960 1260 1860 3660组号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22s3 5 5 22 5 3×5 3×5 2×5 22×5 2×3 22×3a=602 2 22 3 3 2 22 3 3 5 5tt(s+t) 100 84 108 105 96 68 76 78 69 110 85b=tsa 150 210 135 140 160 510 285 260 460 132 204