不等式部分的高考复习策略

辽宁省实验中学 成建卓

不等式问题广泛存在于高中数学的各个领域，除了一些单纯的不等式问题外，在立体几何、三角函数、数列、解析几何、函数与导函数等部分都涉及不等式及相关数学思想，因此不等式是高考复习的一个重点.

《考试说明》中对不等式部分的要求是：

1.不等关系

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.

2.一元二次不等式

（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

3.二元一次不等式组与简单线性规划问题

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

（1）了解基本不等式的证明过程.

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

一、关于不等式的性质

在不等式的基本性质中，我们最常用的是

（1）若 a＞b，则 a+c＞b+c.

（2）若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc.

需要说明的是，以上两个性质，不仅是不等式变换的手段，更是解决相关不等式的方法.

【解析】很明显，需要运用不等式的性质对已知不等式进行变换.

解法1：一个很直接的想法是应用性质（1），对已知不等式去分母，即同时乘以（b+c）（a+c）（a+b）可得

化简可得

由于 a，b，c∈R+，故得 a＞b＞c.

想法很直接，但运算略有麻烦，是否有更简单的方法呢？

解法2：运用性质（1），在已知不等式中各项同时加 1，即

所以 b+c＜a+c＜a+b，

故得 a＞b＞c.

解法3：同样是加1，可以考虑先取倒数，当然，道理是相同的.

由已知得

二、关于运用平均值不等式解决简单的最大值和最小值问题

【答案】B

【解析】因为 3a·3b=3，所以 a+b=1，

解法3：对于解法2，也可以不乘开，分别运用均值不等式，即

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】D

当且仅当 ab=1，a（a-b）=1 时“=”成立，

例4 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是____.

【解析】这个问题入手前需要仔细观察，2x+y为和的形式，怎么会有最大值呢？故不能去寻求2xy的定值，而是根据已知条件，把2x+y作为一个整体，寻找不等关系.

由已知条件

【答案】B

这个过程是用已知积的形式，去构造和的定值.

三、关于线性规划中的开放性问题

在线性规划问题中，已知线性约束条件，求目标函数的最值问题为基本问题，而以线性约束条件为问题情境，结论为开放形式的问题往往具有一定的综合性.

【答案】A

由不等式表示的平面区域可知，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4，6）时，目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，所以2a+3b=6，这与前面讲到运用1的逆代去求最值是一致的.

【答案】B

【解析】问题的关键是画对可行域，并运用简单的几何知识解决问题.

不等式问题还涉及二次不等式、不等式的应用等内容，笔者将在以后的文章中阐述.