超高强度抽油杆P-S-N曲线拟合新方法

胥元刚 郝帆帆

西安石油大学石油工程学院

超高强度抽油杆P-S-N曲线拟合新方法

胥元刚 郝帆帆

西安石油大学石油工程学院

P-S-N曲线是超高强度抽油杆力学性能分析的主要依据，其拟合方法通常参照于普通抽油杆。然而实验数据表明，超高强度抽油杆并不满足普通抽油杆P-S-N曲线拟合模型的假设条件。为了研究适应于超高强度抽油杆的P-S-N曲线拟合方法，提出了基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线拟合模型，其中Box-Cox变量变换法解决了一定循环应力下，疲劳寿命不满足正态分布的问题；三参数P-S-N曲线模型更符合典型S-N曲线的趋势。实验计算结果表明，新方法下的P-S-N曲线拟合度更高，相对误差仅为1.46%～4.12%，仅为以往方法的11%～30%，新方法拟合的曲线更能体现超高强度抽油杆力学性能，精确度更高。

P-S-N曲线；超高强度；抽油杆；Box-Cox变量变换法

P-S-N曲线是指在给定存活概率下，疲劳实验所得循环应力与疲劳寿命的关系曲线，简称概率疲劳寿命曲线［1］。抽油杆高载荷往复运动过程中受到交变应力作用，达到一定限度时抽油杆断裂，即发生疲劳破坏。为研究抽油杆疲劳性能，进行室内疲劳实验研究，通过拟合数据获得的P-S-N曲线对曲线拟合程度要求很高。

针对抽油杆P-S-N曲线的拟合方法，多位学者进行了相关研究。宋开利（2003）提出利用K-S方法验证疲劳实验的数据分布，以及P-S-N曲线线性拟合模型［2］；林元华等（2005）基于抽油杆轴向载荷的数学模型，建立了疲劳寿命的预测模型［3］；李大建等（2015）基于疲劳实验数据计算了H级抽油杆P-S-N曲线的方程［4］。以上研究均作出假设：同一循环应力下，疲劳寿命满足正态分布；指定存活概率下疲劳寿命和循环应力对数线性相关。然而，大量疲劳实验数据表明：不同循环应力下，疲劳寿命的分布不完全满足正态分布，且方差不同；中、长寿命区材料在指定存活概率下，疲劳寿命和循环应力的对数线性相关程度低，从而导致回归误差大［5-8］。超高强度抽油杆的主要特点为疲劳强度高，属于中、长寿命区材料，其拟合模型不再满足拟合普通抽油杆的假设条件，需要提出新的拟合方法。

利用Box-Cox变量变换法解决疲劳寿命不服从正态分布的问题，能够实现高拟合优度，又能保证信息不丢失。而针对模型的不适用性，根据典型S-N曲线趋势提出三参数拟合模型。

1 Box-Cox变量变换法

Box-Cox variable transformation method

Box和Cox于1964年提出Box-Cox变量变换法，原理为对因变量y作以下变换［9］

式中，λ为待定参数。

Box-Cox变量变换法的特点：变换因变量y前后，自身遵循规律不发生变化，信息不丢失，且回归模型满足正态分布。对于X=［x1，x2，…，xn］T和Y=［y1，y2，…，yn］T，变换后Y（λ）=［y1（λ），y2（λ），…，yn（λ）］T满足方程

式中，α为矩阵Y（λ）和X的相关系数。

式中，zi（λ）为yi经过λ值转换的求参因变量。

确定λ值的方法：先确定λ值的取值范围，给定初值，通过计算得出Z（λ）= ［z1（λ），z2（λ）…zn（λ）］T，误差残差平方和R（λ，Z（λ））=Z（λ）T［I–X（XTX）–1XT］Z（λ），λ所求值即为满足minR（λ，Z（λ））的值。

疲劳实验数据为某一循环应力对应的多组疲劳寿命数值，即X样本为定值，认为minR（λ，Z（λ））=Z（λ）TZ（λ）。据此求得不同循环应力下对应的λ值，完成所有疲劳实验数据的Box-Cox变量变换。解决了不同循环应力下，疲劳寿命的分布不完全满足正态分布的问题。

2 三参数P-S-N曲线

Three-parameterP-S-Ncurve

以往的抽油杆P-S-N曲线模型原理：指定存活概率P下，疲劳寿命N与循环应力S的对数线性相关，为

式中，NP为存活概率（即可靠度）P下的疲劳寿命；S为循环应力，MPa；mP，CP为存活概率P下的待定系数。

令YP=lgNP，X=lgS，β1=mP，β2=lgCP。式（4）变换为线性关系式为

当疲劳寿命N趋近无限大时，循环应力趋近疲劳极限S0，S-N曲线趋势与指数函数相近。提出适用于中、长寿命区材料S-N曲线的模型为

式中，m，C为材料常数。

给定存活率P下，变形为三参数P-S-N曲线模型方程为

式中，SP0为存活率P下的疲劳极限。令X=lg（S–SP0）、YP=lgNP、β1=mP、β2=lgCP，式（7）可以变形为式（5）的形式，与以往抽油杆拟合过程不同的是X值的计算方法以及YP经过了Box-Cox变量变换这个步骤。因此虽然最后拟合模式均为线性拟合，但参数发生变化。

3 最小二乘法线性拟合

Alignment fitting of least square method

对线性方程式（5）的拟合使用最小二乘法

据此获得k组循环应力X=［lg（S1–SP0），lg（S2–SP0），…，lg（Sk–SP0）］T下的Yp=［yP1，yP2，…，yPk］T。最小二乘法拟合线性关系的原理为

拟合产生的误差V表示为

最后得出拟合公式为

4 P-S-N曲线拟合思路

P-S-Ncurve fitting principle

根据上述理论，确定P-S-N曲线拟合步骤。

（1）进行疲劳实验，测定循环应力Si（i=1，2，…，k）的疲劳寿命Nj（j=1，2，…，n）。

（2）Box-Cox变量变换，循环应力Si下，先给定λ值的取值范围，给定初始值，利用式（3）由Nj求得Z（λ），在取值范围内试算满足minR（λ，Z（λ））=Z（λ）TZ（λ）的λ值。以此方法计算出其他循环应力下的λ值。用式（1）对Si下Nj进行Box-Cox变量变换，使其满足正态分布，得出Si对应新的Nj值。

（3）给定可靠度P，根据式（8）计算YP=［yP1，yP2，…，yPk］T。

（4）假定SP0，计算X=［lg （S1–SP0），lg（S2–SP0），…，lg（Sk–SP0）］T。

（5）根据式（9）和式（10）最小二乘法拟合线性方程计算β1，β2。

（6）根据式（11）计算V值，然后返回第（4）步重新假设SP0值，V达到最小值则停止计算，记录试算最后一步的SP0值。

（7）得出可靠度P下，超高强度抽油杆P-S-N曲线方程式（12）。

5 实验数据

Experimental data calculation

根据SY/T 5029—2013《抽油杆》附录L中钢制抽油杆疲劳性能要求和实验方法，利用PLG-300C电磁谐振高频疲劳实验机进行了18组超高强度抽油杆的疲劳实验，每组7根试件（2根备用）。试件发生疲劳断裂时，如果疲劳寿命不低于106，则为合格，认为是有效数据，否则无效。筛选出2种类型的超高强度抽油杆（HY型和HL型）在不同循环应力下的疲劳寿命数据，见表1。分别利用新方法和以往方法对实验所得数据进行了P-S-N曲线拟合，并计算相应的误差值，计算结果见表2。

表1 超高强度抽油杆疲劳实验Table 1 Fatigue test on ultra-high-strength pumping rod

表2 计算结果Table 2 Calculation results

由表2可以看出，可靠度为50%和95%时，采用新方法拟合的曲线偏差更小，其相对误差降低到以往方法的11%～30%，说明基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线模型与实验数据吻合程度更高，更能代表超高强度抽油杆的力学性能。

6 结论

Conclusions

（1）针对一定循环应力下的超高强度抽油杆，其疲劳寿命不完全满足正态分布以及以往模型不适用的问题，提出了基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线模型：Box-Cox变量变换法能够保证信息不丢失，且模型满足正态分布；三参数P-S-N曲线模型符合典型S-N曲线的趋势，是对以往模型的优化。

（2）实验结果表明，新方法将拟合曲线的相对误差降低到了1.46%～4.12%，仅为以往模型的11%～30%，提高了P-S-N曲线的拟合精度和可信度。因此，新方法更适用于超高强度抽油杆P-S-N曲线的拟合，更能代表超高强度抽油杆的力学性能。。

References:

［1］谢里阳，刘建中.样本信息聚集原理与P-S-N曲线拟合方法［J］.机械工程学报，2013，49（15）：96-103.XIE Liyang,LIU Jianzhong.Principle of sample polymerization and method ofP-S-Ncurve fitting ［J］.Journal of Mechanical Engineering,2013,49（15）: 96-103.

［2］宋开利.超高强度抽油杆P-S-N曲线实验研究［J］.石油矿场机械，2003，32（5）：27-29.SONG Kaili.Experimental research ofP-S-Ncurves for sucker rod with super high strength［J］.Oil Field Equipment,2003,32（5）: 27-29.

［3］林元华，张德平，骆发前，施太和.抽油杆疲劳寿命计算研究［J］.石油钻采工艺，2005，27（6）：66-69.LIN Yuanhua,ZHANG Deping,LU Faqian,SHI Taihe.Research on fatigue life calculation method of sucker rod［J］.Oil Drilling & Production Technology,2005,27（6）:66-69.

［4］李大建，陆梅，郭靖，张建伟，刘涛，梁毅.H级抽油杆疲劳性能实验分析［J］.石油矿场机械，2015，44（12）：42-44.LI Dajian,LU Mei,GUO Jing,ZHANG Jianwei,LIU Tao,LIANG Yi.Fatigue test analysis of H sucker rod ［J］.Oil Field Equipment,2015,44（12）: 42-44.

［5］李洪双，吕震宙.估计疲劳寿命三参数P-S-N曲线的新方法［J］.机械强度，2007，29（2）：300-304.LI Hongshuang,LYU Zhengzhou.New method for estimating fatigue life three parameterP-S-Ncurves ［J］.Journal of Mechanical Strength,2007,29（2）: 300-304.

［6］陈家权，陈国军，陈非凡，张云泉，温杰明.Box-Cox 变量变换拟合法估计三参数P-S-N曲线研究［J］.机械强度，2011，33（3）：358-362.CHEN Jiaquan,CHEN Guojun,CHEN Feifan,ZHANG Yunquan,WEN Jieming.Reserch on Box-Cox variable transform fitting method for estimating fatigue life three parameterP-S-Ncurves ［J］.Journal of Mechanical Strength,2011,33（3）: 358-362.

［7］傅惠民，高镇同P-S-N曲线拟合法［J］.航空学报，1988，9（7）：338-341.FU Huimin,GAO Zhentong.Amethod for fittingP-S-Ncurves ［J］.Astronautica Sinica,1988,9（7）: 338-341.

［8］谢金标，姚卫星.疲劳S-N曲线拟合的双加权最小二乘法［J］.宇航学报，2010，31（6）：1661-1665.XIE Jinbiao,YAO Weixing.Double weighted least square method for fatigueS-Ncurve fitting ［J］.Journal of Astronautic,2010,31（6）: 1661-1665.

［9］左文鼎，夏祥谦，王力宾.Box-Cox 变换在MATLAB上的实现［J］.云南财经大学学报，2007，23（6）：116-119.ZUO Wending,XIA Xiangqian,WANG Libin.Box-Cox variable transform and its implementation by MATLAB［J］.Journal of Astronautic,2007,23（6）: 116-119.

（修改稿收到日期 2017-03-12）

〔编辑 李春燕〕

A new fitting method forP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod

XU Yuangang,HAO Fanfan
College of Petroleum Engineering,Xi’an Shiyou University,Xi’an710065,Shaanxi,China

P-S-Ncurve is one important basis for analyzing the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod,and its fitting method is generally referred to that of conventional sucker rods.Based on experimental data,however,ultra-high-strength sucker rod can’t satisfy the assumptions ofP-S-Ncurve fitting model which is used for conventional sucker rods.A three-parameterP-S-Ncurve fitting model based on Box-Cox variable transformation method was developed to search for a fitting method suitable for theP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod.By means of Box-Cox variable transformation method,fatigue life can satisfy normal distribution in a certain cyclic stress.The three-parameterP-S-Ncurve model is more accordant with the trend of typical S-N curve.It is indicated from experimental calculation results that by virtue of this new method,the fitting degree ofP-S-Ncurve is higher with relative error only 1.46%-4.12%,which is just 11%-30% of the conventional value.The fitting based on this new method can embody the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod more accurately.

P-S-Ncurve; ultra high strength; sucker rod; Box-Cox variable transformation method

胥元刚，郝帆帆.超高强度抽油杆P-S-N曲线拟合新方法［J］.石油钻采工艺，2017，39（3）：334-337.

TE928

：A

1000–7393（2017 ）03–0334–04DOI:10.13639/j.odpt.2017.03.015

: XU Yuangang,HAO Fanfan.A new fitting method forP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod［J］.Oil Drilling& Production Technology,2017,39(3): 334-337.

西安石油大学研究生创新基金项目（编号：2015cx140104）；西安石油大学优秀硕士学位论文培育项目（编号：2015yp1401 04）。

胥元刚（1963-），1998年毕业于中国石油大学（华东）油气田开发工程专业，博士研究生，现从事采油工程理论与技术方向的研究和教学，教授。通讯地址：（710065）陕西省西安市雁塔区电子二路18号西安石油大学。E-mail：ygxu@xsyu.edu.cn

郝帆帆（1990-），西安石油大学在读硕士研究生现，主要从事采油工程理论与技术方面的研究工作。通讯地址：（710065）陕西省西安市雁塔区电子二路18号西安石油大学。E-mail：fan_fanhao@126.com