一类不确定非线性系统的自适应跟踪控制

李彦欣, 李伟明

(山东科技大学 数学与系统科学学院, 山东 青岛 266590 )



一类不确定非线性系统的自适应跟踪控制

李彦欣, 李伟明

(山东科技大学 数学与系统科学学院, 山东 青岛 266590 )

研究了一类单输入单输出非线性系统的自适应模糊控制问题.由模糊逻辑系统的线性逼近能力及Backstepping技术,提出了一种新的自适应模糊控制方案,这种自适应控制器确保闭环系统的所有信号半全局一致有界,并且跟踪误差收敛到原点的一个充分小邻域内.

自适应模糊控制； 严格反馈的非线性系统； Backstepping

0 引言

近些年,模糊控制系统的稳定性与控制器设计一直是模糊控制领域关注的一个问题.特别地,模糊系统的逼近性使自适应模糊控制成为未知非线性系统控制领域的研究热点.通过结合自适应技术与模糊控制原理,使得未知非线性系统的建模与控制得到了有效的解决.

在过去的20年中,自适应Backstepping控制是处理参数不确定性非线性系统的有力工具,将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后单独设计每个子系统的部分Lyapunov函数，在保证子系统具有一定收敛性的基础上获得子系统的虚拟控制律，在下一个子系统的设计中，将上一个子系统的虚拟控制律作为这个子系统的跟踪目标。相似于上个子系统的设计，获得该子系统的虚拟控制律；以此类推，最终获得整个闭环系统的实际控制律，且结合Lyapunov稳定性分析方法来保证闭环系统的收敛性，由此得出了许多研究成果[1-9].

文献[3]利用 Lyapunov 方程提出了一类严格反馈非线性系统的自适应Backstepping 控制,避免了可能存在的控制器奇异值问题.许多学者利用模糊逻辑系统和神经网络来逼近未知的非线性函数[10-12],并通过自适应 Backstepping 技术[13]构造模糊控制器,取得了比较显著的成果.文献[14]提出了对于 Lyapunov 稳定的非线性模糊自适应方法,在保证了系统闭环渐近稳定的同时加入了模糊自适应控制.

随机干扰经常存在于许多实际的系统中,它往往是系统不稳定的一个因素,随机非线性系统的控制比确定性系统的控制更加困难.因此,对随机非线性系统的控制器设计的研究受到了越来越多的关注和重视.文献[15]提出了一种适用于严格反馈的随机非线性系统的自适应Backstepping控制方法.文献[16]在得出一类严格反馈的随机非线性系统的基础上,提出了一种具有逼近性的自适应神经网络控制方法.

针对不确定的严格反馈的随机非线性系统,本文提出了一类单输入单输出的严格反馈的非线性系统,现有的控制方法大多适应于确定的非线性系统,却很少关注不确定的非线性系统控制问题.由模糊逻辑系统的线性逼近能力及Backstepping技术,提出了一种新的自适应模糊控制方法,该控制器确保闭环系统的所有信号半全局保持一致有界,并且跟踪误差收敛到原点的一个充分小邻域内.

1 问题的描述及预备知识

1.1 问题的描述

考虑以下非线性系统

1≤i≤n-1,

y=x1

(1)

其中,xi=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是系统的状态向量,u∈R和y∈R分别是系统的输入和输出,ω是一个定义在完备概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的r-维标准布朗运动,其中Ω是一个样本空间,F是一个σ域,{Ft}t≥0是一个范围,P是一个概率测度,fi(·):Ri+1→R且gi(·):Ri→Rr(i=1,2,…,n)是未知非线性光滑函数,bi是正常数.

本文对于系统(1)设计一个自适应模糊控制器,使得

(1)在一定概率下，闭环系统中所有的信号半全局一致连续有界；

(2)跟踪误差收敛到原点的一个充分小邻域内.

1.2 预备知识

定义1[17]对于连续二次可微函数V(x,t),定义如下微分算子

(2)

其中,Tr表示矩阵的迹.

引理1[15]假设存在函数V(x,t)∈C2,1,正常数c和b,则κ∞类函数α1和α2满足

(3)

引理2 (杨氏不等式)[18]对于∀(x,y)∈R2,下列不等式成立

其中,ε>0,p>1,q>1,且(p-1)(q-1)=1.

引理3[19]考虑以下形式的动态系统

(4)

假设1[20]对于系统(1),当1≤i≤n，存在未知常数bm和bM满足

0

(5)

此外，对于1≤i≤n-1,bixi+1的符号是已知的,bnu的符号是未知的.不失一般性，假设对于1≤i≤n-1,有bixi+1≥bm>0.

本文采用模糊逻辑系统来逼近一个定义在紧集上的未知连续函数.模糊系统的N条模糊规则为

则y是Gl,l=1,2,…,N.

若采用单点模糊化、乘积推理和中心加权模糊化方法，则模糊系统的输出可以表示为

(6)

构造模糊基函数

其中,ξ(x)=[ξ1(x),ξ2(x),…,ξN(x)]T.模糊逻辑系统(6)变为

y=ΦTξ(x)

(7)

引理4[21]如果f(x)是定义在一个紧集Ω上的连续函数,那么对∀ε>0,存在一个模糊逻辑系统(6)满足

(8)

2 自适应模糊控制设计

本文对于系统(1),采用Backstepping 方法设计自适应控制器，这个过程中包含了n个步骤.定义以下坐标变换

z1=x1-yd,zi=xi-αi-1,i=2,…,n

(9)

第1步,对于随机系统(1),z1=x1-yd的动态误差为

(10)

选择一个Lyapunov函数

(11)

其中,r1是正整数.

由(2),(9),(10),得

(12)

应用引理2,以下不等式成立

(13)

(14)

其中,l1是正整数.将(13)、(14)代入(12)得

(15)

其中,

(16)

由杨氏不等式

(17)

其中,a1是正整数.

选择如下虚拟控制信号和自适应律

(18)

(19)

其中,r1和γ1是正整数.

由(18)、假设1和引理3,有

(20)

将(16)～(19)代入(14)，得

(21)

其中,

(22)

因此,(21)可化为

(23)

其中,c1=k1(1+bm),

第2步,由坐标变换z2=x2-α1和(2),有

(24)

其中,

(25)

选择以下Lyapunov函数

(26)

其中,r2是正整数.

按照第1步的过程,可得

(27)

值得注意的是,

(28)

(29)

其中l2是正整数.将(23)、(28)、(29)代入(27),有

(30)

其中

(31)

其中ε2是任意给定的正常数.

因此,重复使用(17)中的方法,得

(32)

其中,a2是正整数.

选择以下虚拟控制信号和自适应律

(33)

(34)

其中,r2和γ2是正整数.

类似(20)、(22),以下不等式成立

(35)

(36)

将(32)、(36)代入(30),得

(37)

其中cj=kj(1+bm),

第i步(3≤i≤n-1).由坐标变换zi=xi-αi-1和(2),有

(38)

其中,

(39)

考虑以下Lyapunov函数

(40)

其中,ri是正整数.类似于第1步的计算方法,得

(41)

通过配方法和杨氏不等式,得以下不等式

(42)

(43)

其中,li是正整数.

将(42)、(43)代入(41),得

(44)

其中,

ki是正整数.

(45)

其中εi是任意给定的正常数.重复(17)中的方法,得到以下不等式

(46)

其中,ai是正整数.

选择虚拟控制信号和自适应律如下

(47)

(48)

其中,ri和γi是正整数.

与(20)和(22)类似,以下不等式成立

(49)

(50)

将(46)～(50)代入(44),得

(51)

其中,cj=kj(1+bm),

第n步,通过(2)和(8),可以得

(52)

其中,

(53)

考虑以下Lyapunov函数

(54)

其中,rn是正整数.

由(2),得

(55)

类似于(42),得

(56)

其中,ln是正整数.

将(51)、(56)代入(55),则

(57)

其中

(58)

其中,an是正整数.

选择虚拟控制器和自适应律分别为

(59)

(60)

类似于(22)，以下不等式成立

(61)

将(58)～(60)代入(61),得

(62)

其中,cj=kj(1+bm),

3 稳定性分析

定理1 对于纯反馈随机非线性系统(1),在假设1下,有界的初始条件和控制(59)、虚拟控制信号(47)以及自适应律(48)使得:

(1)闭环系统的所有信号半全局一致有界;

(2)变量zj收敛于一个紧致集Ωz，其中

证明：对于闭环系统的稳定性分析,选择随机的Lyapunov函数V=Vn.

LVn≤-λVn+c,t≥0

(63)

(64)

其中,E(·)表示期望.由(64),得

(65)

这意味着,

(66)

从(64)和(65)可以得出,

(67)

因此,zj最终收敛于紧致集

(68)

4 结论

本文研究了一类具有未知非线性函数的随机非线性系统,随机扰动和非线性函数是完全未知的.采用模糊逻辑系统的逼近性,对未知非线性函数进行估计,通过自适应Backstepping技术,构造了一类自适应模糊控制器.该控制器能保证闭环系统的所有信号保持一致有界，同时系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分小邻域内.

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【责任编辑：蒋亚儒】

Adaptive tracking control for a class of uncertain nonlinear systems

LI Yan-xin, LI Wei-ming

(School of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266590, China)

This paper researches the fuzzy control problem for a class of single input single output nonlinear systems.Based on the linear approximation ability of fuzzy logic system and Backstepping technology,a new adaptive fuzzy control scheme is proposed.The adaptive controller guarantees that all the signals of the closed-loop system are semi-globally uniformly bounded in probability and the tracking error converges to a small neighborhood of the origin.

adaptive fuzzy control; strict feedback nonlinear system; Backstepping

2017-04-16

国家自然科学基金项目(61402265); 山东省泰山学者研究基金项目(20015TDJH105); 青岛博士后应用研究项目(2016118); 山东科技大学研究生创新基金项目(SDKDYC170344)

李彦欣(1992-)，女，山东青岛人，在读硕士研究生，研究方向：非线性系统控制

2096-398X(2017)04-0179-06

O231.3

A