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巧解生活中的数学难题

2017-07-06蒋邕平蒋科新�お�

中学教学参考·理科版 2017年6期
关键词:生活

蒋邕平++蒋科新�お�

[摘要]研究一些生活中的数学难题的解法,可以开阔学生视野,培养学生思维.

[关键词]巧解;数学难题;生活

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2017)17002802

数学是思维的体操.数学是神奇的、有魅力的,它在更深的层面上揭开了自然界和人类社会的内在规律.数学源于生活,寓于生活,用于生活.数学是一种思维方法、一种推理方法.数学思维是数学的灵魂,是分析和解决问题的基础、导向和金钥匙.下面我们来看看如何用智慧巧解数学难题.

【例1】(农夫分牛问题)农夫养牛17头,临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子.遗嘱是这样的:老大得1/2,老二得1/3,老三得1/9.既不能把牛杀死,也不能卖了分钱.农夫死后,兄弟3人怎么分呢?

这是著名的农夫分牛问题.在许多趣味数学书中有收录,但是都没有给出解题的思路和隐藏的数学问题.

解:先借邻居一头牛,就好分了.这样,老大得到18的1/2为9头,老二得到1/3为6头,老三得到1/9为2头,合计刚好为17头,剩下1头牛还给邻居.

这样分牛方法到底合理吗?也就说,老大、老二和老三得到的牛数是否真的与农夫的遗嘱丝毫不差?我们来看下面的数学证明过程.

证明:第一次分后,老大得17×1/2头牛,老二得17×1/3头牛,老三得17×1/9头牛.按照农夫的遗嘱,第一次分后,不能够把17头牛完全分完,还剩下17/18头牛.必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛.

第二次分后,牛也没有分完,还剩下牛17/182,继续分牛.

继续分下去,这是一个收敛的无穷级数,也就是说,老大得到的牛头数为17×1/2+17/18×1/2+17/182×1/2+7/183×1/2+……

老二得的牛头数为17×1/3+17/18×1/3+17/182×1/3+17/183×1/3+……

老三得的牛头数为17×1/9+17/18×1/9+17/182×1/9+7/183×1/9+……

计算级数1/18+1/182+1/183+……=1/17,经过级数计算可见,分牛方法完全合理.

【例2】1元钱一瓶汽水,喝完后两个空瓶换一瓶汽水,问:你有20元钱,最多可以喝到几瓶汽水?

解:第一次可买到20瓶,喝完后有20个空瓶;第二次可换到10瓶,喝完后有10个空瓶;第三次可换到5瓶,喝完后有5个空瓶;第四次可换到2瓶,剩一个空瓶,喝完后有共有3个空瓶;第五次可换到1瓶,剩一个空瓶,喝完后有共有2个空瓶;第六次可换到1瓶,喝完后有1个空瓶,可借1个空瓶,共2个空瓶;第七次可换到1瓶,喝完后剩1个空瓶,可还上借的那个空瓶.因此一共可喝到40瓶.

【例3】有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背几根香蕉回家?

解:猴子先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下.回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根.再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家.

【例4】假设有一个池塘,里面有无穷多的水.现有2个空水壶,容积分别为5升和6升.问题是如何利用这2个水壶从池塘里取得3升的水?

解:先用5升壶装满水后倒进6升壶里,再将5升壶装满水向6升壶里倒,使6升壶装满水为止,此时5升壶里还剩4升水;将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水,再将5升壶装满水,向6升壶里倒,使6升壶里装满水为止,此时5升壶里就只剩下3升水了.

【例5】某沙漠通讯班接到紧急命令,让他们火速将一份情报送过沙漠.现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠,每个人步行穿过沙漠的时间均为12天,而每个人最多只能带8天的食物,请问,在假定每个人饭量大小相同,且所能带的食物相同的情况下,沙漠通讯班能否完成任务?如果能,那么最少需要几人才能将情报送过沙漠,怎么送?

解: 最少需要3人才能将情报送过沙漠.

因最后一个人过沙漠送情报,12-8=4,需要别人为他提供4天的食物.8-4=4.

在第四天返回的人共用4×2=8天的食物.8-8=0,自带食物无剩余.应有别人为他们提供4天的食物.(8-4)/2=2.为他们提供食物的人在第二天返回.三人同行.走二天后,一人给另两人各两天食物,自带两天食物返回. 走四天后,第二人给第三人两天食物,自带四天食物返回.

这时第三人有8-2+2-2+2=8天的食物.第三人一共可行8+4=12天.

【例6】某医院有一架天平,只剩下两个砝码,一个是5克,另一个是30克,如何用这两个砝码,在天平上只称两次就把300克的药品分成两份,一份100克,一份200克?写出简要的操作过程.

解:将5克和30克砝码一起放上,称量出35克药品.然后用称量出的35克药品和5克及30克砝码一起做砝码,称量出70克药品.将称量出的70克药品和做砝码的30克药品放在一起,100克药品就称出来了,剩下的就是200克药品.

【例7】妈妈让小明烧水给客人沏茶,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟,小明估算了一下,完成这些工作要20分钟,为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?

解:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待開水的过程中,同时洗茶杯,拿茶叶,水开了就沏茶,总共用了16分钟.

又因为烧开水的15分钟不能减少,烧水前必须洗水壶,所以用16分钟是最少的.

【例8】用一个平底锅来烙饼,每次能同时放两块饼,如果烙一块饼需要两分钟(正、反面各需1分钟),那么烙3块饼至少需要多少分钟呢?

解:假设三张饼分别是1、2、3,两面分别为A、B.第一分钟:烙1A、2A,第二分钟:烙1B、3A,第三分钟:烙2B、3B,就都烙好了, 所以至少需要3分钟.

【例9】6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这6人的打水次序,可使他们总的等候时间最短?这个最短时间是多少?

解:第一个人接水时,包括他本人在内,共有6个人等候,第二个人接水时,有5个人等候……第6个人接水时,只有他1个人等候.可见,等候的人越多(一开始时),接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少.因此,应当把接水时间按从少到多的顺序排列等候接水,这个最短时间是36+45+54+63+72+10=100(分钟).

【例10】如图,某工地A有20辆卡车,要把60车渣土从A运到B,把40车砖从C运到D.问:如何调运最省汽油?

方案一:如果各派10辆车分别运渣土和砖,那么每运一车渣土要空车跑回300米,

每运一车砖则要空车跑回360米,这样到完成任务.总共空车跑了300×60+360×40=32400(米).

方案二:如果一辆从A→B→C→D→A跑一圈,

那么每运一车渣土、运一车砖要空车跑240+90=330米.

因此,先派20辆车都从A开始运渣土到B,再空车开往C运砖到D后空车返回A,

这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.

然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A,则运渣土任务也完成了.

这里总共空车跑了330×40+300×20=19200(米).

方案二比方案一减少跑空车13200米,这是最佳节油的调运方案.

(责任编辑黄桂坚)

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