带有强阻尼的非线性热粘弹方程能量的衰减

马志勇

带有强阻尼的非线性热粘弹方程能量的衰减

马志勇

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

研究了一类带有强阻尼的热粘弹方程能量的大时间行为,利用多乘子方法,巧妙建立扰动函数,构建李亚普诺夫泛函,最终得到能量的指数衰减结果。

热粘弹;非线性;衰减

0 引言

热弹性是通过温度变化引起固体弹性模量变化的性质,粗略地说,它既具有某些弹性固体材料的性质,又具有某些黏性流体的性质。热弹方程[1]是热弹性力学方程组的简称,是根据热弹性体的变形和温度的分布规律建立的数学模型。关于材料的弹性、黏性性质的研究历史悠久,近几十年来,新型复合材料、功能材料、生物材料、建筑材料等材料科学的发展,愈来愈深入地涉及到热粘弹性性质。最近Han等[2]研究了带有记忆的粘弹盘方程：

本文利用Messaoudi[4]中的方法,证明了方程解的衰减结果,在此基础上,Cavalcanti等[3]研究了带有阻尼的粘弹方程：

在一系列的假设条件下,笔者证明了方程解的指数衰减,但将粘弹方程推广到热粘弹方程之后,相应的热粘弹方程能量的衰减结果还没有,因此,本文通过多乘子方法证明了热粘弹方程解的衰减。

1 模型介绍和分析

本文研究的热粘弹方程如下：

初值为：

边值为：

式中：u(x,t),θ(x,t)分别代表位移和温度;x,t分别代表空间和时间变量;Ω是Rn中的一个子集; u0(x),u1(x),θ0(x)为给定函数;g为记忆核函数;γ为常数。

假设ρ满足：

核函数g满足：

g:[0,∞)→(0,∞)是有界函数且

存在正定函数ξ(t)使得：

及

式中,l、k是正常数。

经过简单的计算,与式(3)～(4)相关的能量函数为：

式中,

2 结论

定理1假设条件式(8)～(10)成立,若(u0,u1,θ0)∈L2(Ω),那么存在正常数µ和K,使得由方程的解所构成的能量函数E(t)满足下面的衰减结果：

在证明结论式(13)之前,首先通过简单的计算得到下面的几个引理。

引理1若(u,θ)是式(3)～(4)的解,则有：

证明在式(3)～(4)两边分别乘以ut和θ,所得结果再在Ω上关于x,设条件式(8)～(10)成立下,可以得到式(14)。

接下来定义下面的能量扰动函数：

定义：

式中,M和ε是2个正常数,会在后面被确定。

在假设条件式(9)～(10)成立下,容易验证ξ(t)是单调减的正定函数,因此成立：

其中,L是正常数。

引理2若(u,θ)是式(3)～(4)的解,则存在正常数β1、β2使得：

引理2的证明可参阅文献[2]。

引理2意味着E(t)等价于F(t)。因此,为了证明主要结论式(13),首先对F(t)进行先验估计。

引理3若(u,θ)是式(3)～(4)的解,则有：

其中：

Cs、Cp分别表示Sobolev和Poincare常数。

证明由Φ(t)的定义以及式(3)～(4),可以得到：

利用Young’s、Poincare’s、Soblev’s不等式和式(9)～(10),可得：

由以上估计式,同时令

这样就完成了引理3的证明。

类似地,有下面的引理。

引理4若(u,θ)是式(3)～(4)的解,则有：

证明与引理3的证明类似,由Φ(t)的定义以及式(3)～(4),利用Young’s、Cauchy、Poincare’s、Sobolev’s不等式和式(9)～(10),可判定引理4结论正确。

接下来给出定理1的证明结论。

证明结论由引理1～引理4,选取ε,ε1,δ足够小,同时选取M足够,这样可以断定存在正常数a3、t0使得：

对于式(18)两边在[t0,t]上积分,可得：

令F(t0)=K,-a1/β2=µ,这样由式(16)和(19),定理结论可得。

[1]ZHENG S M.Nonlinear evolution equations[M].Boca Raton,USA：CRCPress,2004.

[2]HAN X S,WANGM X.Generaldecay ofenergy fora viscoelastic equationw ith nonlinear damping[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2009,32(3)：346-358.

[3]CAVALCANTIM M,DOM INGOSCAVALCANTIV N, FERREIRA J.Existence and uniform decay for a nonlinearviscoelastic equationw ith strong damping[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2001,24(14)：1043-1053.

[4]MESSAOUDISA.General decay of the solution energy in aviscoelastic equationw ith anonlinearsource[J].Nonlinear Analysis,2008,69(8)：2589-2598.

Energy Decay for Non-Linear Thermoviscoelastic Equationsw ith Strong Dam ping

MA Zhiyong
(Schoolof Science,ShanghaiPolytechnic University,Shanghai201209,China)

Theenergy of the long timebehavior for thermoviscoelastic equationsw ith strong dampingwasstudied.Themulti-multiplier method was used to construct the perturbation function and the Lyapunov functionalwas constructed.Finally,the exponential decay resultof energy wasobtained.

thermoviscoelastic;non-linear;energy decay

O29

A

1001-4543(2017)02-0131-03

10.19570/j.cnki.jsspu.2017.02.010

2016-07-19

马志勇(1980—),男,河南安阳人,副教授,博士,主要研究方向为偏微分方程及其动力系统。E-mail：zyma@sspu.edu.cn。

上海第二工业大学重点学科项目(XXKPY1604)资助