解析几何解答题集锦

■广东省信宜砺儒中学 王位高

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■广东省信宜砺儒中学 王位高

1.已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1和F2,且|FF|=2,点(1)在该椭圆上。

(1)求椭圆C的方程;

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A, B两点,若△AFB的面积为求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。

2.已知抛物线E:y2=2px(p〉0)的准线与x轴交于点M,过点M作圆C: (x-2)2+y2=1的两条切线,切点为A,B, |AB|=42。3

(1)求抛物线E的方程;

(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线,切点分别为P,Q,若P,Q,O(O为原点)三点共线,求点N的坐标。

(1)求m的取值范围;

(2)求△MPQ面积的最大值。

4.已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于2。

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;

(3)已知定点G(1,2),D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值。

5.已知点F(1,0),直线l1:x=-1上有一动点A,过点A作直线l2,l1⊥l2,线段AF的垂直平分线与l2交于点P。

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)若M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求的取值范围。

6.已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4。

(1)求圆C的方程;

(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围。

图1

(2)如图2,设N(s,t)。P,Q是以NC为直径的圆D与圆C的两个交点。圆D的方程为即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0 ①。又圆C的方程为x2+y2-4x+3=0 ②,由②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0 ③。

P,Q两点的坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线PQ的方程。

图2

4.(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1,焦半径c=2,所以其虚半轴长b=又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2, y),则两式相减,得3(x-21x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0。因为(,)为的中点,所以所M21AB以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即kAB=。故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0。

(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|= |DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号。因为|GF2|=所以|DF2|+|DG|+ 2≥|GF2|+2=5+2。故|DF1|+|DG|的最小值为5+2。

5.(1)依题意,点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,所以点P的轨迹是以F为焦点,直线l1:x=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程为y2=4x。

(2)设P(x0,y0),M(-1,m),N(-1, n),则直线PM的方程为(x+1),化简得(y0-m)x-(x0+1)y+ (y0-m)+m(x0+1)=0。

因为△PMN的内切圆方程为x2+y2= 1,所以圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即

故(y0-m)2+(x0+1)2=(y0-m)2+ 2m(y0-m)(x0+1)+m2(x0+1)2。

易知x0〉1,上式化简得(x0-1)m2+ 2y0m-(x0+1)=0。同理,有(x0-1)n2+ 2y0n-(x0+1)=0。所以m,n是关于t的方程(x0-1)t2+2y0t-(x0+1)=0的两根,所以

6.(1)设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(r〉0)。因为圆C过点(0,0)和(-1,1),所以解得a=-1,r=1。所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1。

(2)设圆D上的动点P的坐标为(x0, y0),则(x0-4)2+y20=4,即y20=4-(x0-4),解得2≤x0≤6。由圆C与圆D的方程可知,过点P向圆C所作两条切线的斜率必存在,设PA的方程为y-y0=k1(x-x0),则点A的坐标为(0,y0-k1x0)。同理可得点B的坐标为(0,y0-k2x0),所以|AB|= |k1-k2|x0。

(责任编辑 王福华)