圆锥曲线中如何解决参变量的取值范围

■广东省江门市棠下中学 林月霞

圆锥曲线中如何解决参变量的取值范围

■广东省江门市棠下中学 林月霞

圆锥曲线与不等式交汇的问题主要是:以圆锥曲线为依托,通过引入不等式求解变量的取值范围。我们通过下面的例题来阐述在圆锥曲线中应如何引入不等式来求变量的取值范围。

一、由判别式建立不等式

已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。

(1)求曲线C的方程。

(2)是否存在正数m,对于过点M(2m, 0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。

评注:第(2)问中出现了“一直线与曲线C相交于A,B两点”这样的条件,这显然是探讨直线与曲线C的位置关系的问题。而我们在处理由直线与曲线的位置关系所引起的变量取值范围问题时,通常用到的工具就是韦达定理与判别式。

二、由圆锥曲线方程中变量的取值范围建立不等式

评注:圆锥曲线方程本身对其上的点的横、纵坐标都是有约束的,比如椭圆中,-a≤x≤a、-b≤y≤b;双曲线中,x≤-a或x≥a。这些都是用来构造不等式的非常有效的工具,在圆锥曲线中,对求变量的取值范围问题,这种引入不等式的方法容易被忽视。审视该题条件,看不到现成的不等式供我们利用,这种情况下就应当考虑圆锥曲线方程本身所隐含的约束条件。

三、由圆锥曲线的几何特征引入不等式

由椭圆的几何性质知PF2〈a+c,则,即c2+2c-a2〉0,所以e2+ 2e-1〉0,解得又e∈(0,1),故椭圆的离心率e∈(2-1,1)。

评注:求离心率的取值范围的难点在于需要发现一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组。常用来建立不等式的几何性质有:(1)椭圆中|PF1|+|PF2|〉2c、a〉c、a〉b,PF2〈a+c;(2)双曲线中||PF1|-|PF2||〈2c、c〉a、c〉b等。

(责任编辑 王福华)