径向两星库仑编队队形保持自适应控制研究*

施 强，袁长清，吴立尧

( 空军航空大学飞行器与动力系，长春 吉林 130022)



径向两星库仑编队队形保持自适应控制研究*

施 强，袁长清，吴立尧

( 空军航空大学飞行器与动力系，长春 吉林 130022)

研究地球同步轨道处径向两星库仑编队队形保持的自适应控制问题.建立了双星库仑编队在地球同步轨道处径向两星库仑编队动力学模型.基于建立的非线性化动力学模型，同时考虑到外部扰动和动力学模型误差等因素，设计径向两星库仑编队在地球同步轨道处的构型保持自适应控制律，并利用Lyapnuov稳定性理论证明系统的闭环稳定性.最后进行数值仿真，并与传统PID控制进行了比较.仿真结果表明提出的自适应控制律响应速度快，稳定性好，编队构型能够收敛到期望值，控制性能明显优于PID控制. 关键词： 库仑编队；地球同步轨道；构型保持；自适应控制

0 引 言

近年来，库仑力卫星编队技术成为一种新兴的编队技术，即通过使卫星带电(正电或负电)形成排斥力或吸引力，通过设计适当的控制律来控制卫星编队的构型、姿态、距离等以完成预期任务.King等[1]在2002年首次提出卫星库仑力编队的概念，从此库仑编队以其极大的优势引起了国内外学者的广泛研究.库仑编队通过卫星间的静电引力或斥力形成控制力，不需抛射任何电荷，不会产生腐蚀性的羽状物，是一种清洁无害能源[1-3].另外对于近距离编队技术，库仑编队的精度可以达到毫牛的数量级，完全满足编队要求.这些特点使得库仑编队技术成为一个在航天领域中具有长期巨大研究价值的课题.

对于库仑编队系统反馈控制问题，Hussein等[2]于2007年首次研究库仑虚拟结构的反馈控制问题.考虑三结点共线虚拟结构，应用线性化相对动力学方程设计了电荷反馈控制律.Natarajan等[3-5]针对地球同步轨道的二体库仑虚拟绳系编队推导出卫星的相对距离动力学方程和姿态动力学方程，并设计了电荷反馈控制器.文献[3]在轨道径向方向将非线性动力学方程线性化，设计了电荷PD反馈控制律来稳定二体库仑编队构型；文献[4]在轨道迹向方向和法线方向采用了推力器和库仑力相结合的方式，设计了一个混合反馈控制律，并且没有引起羽流问题；文献[5]基于线性化平面外解耦模型，提出了一个只用库仑力进行控制的控制律.Inampudi和Schaub等[6-7]针对于二体库仑编队在地月平动点处推导编队动力学模型并设计了反馈控制律.文献[6]利用拉格朗日方程推导出卫星相对距离动力学方程和姿态动力学方程的一般式，设计电荷PID反馈控制律稳定构型；文献[7]考虑了环境力矩包括重力梯度力矩和太阳光压摄动.Wang等[8]研究了地球同步轨道处两卫星自旋库仑虚拟结构控制问题，设计全状态反馈电荷控制器，并应用Lyapunov稳定性理论，证明闭环系统是渐近稳定的.

目前国内在静态编队以及动态编队研究还比较少.在静态编队方面，王婷等[9]通过采用粒子群算法求解出了不等质量四星库仑卫星编队在平面和立体情况下的最优静态构型.王婷等[10]分析了立体五星编队在静电力和万有引力作用下的静态构型，并采用线性二次型最优控制方法保持编队的静态构型稳定并实现了编队飞行控制仿真.张皓等[11]研究了利用库仑力控制实现近距离悬停轨道的问题.黄静等[12]在Wang和Schaub的基础上研究了考虑控制输入饱和与状态约束的深空旋转二体库仑卫星构型控制问题.黄静等[13]研究了考虑太阳光压的非线性姿态轨道动力学方程与构型控制.王景伟[14]对双星静态编队在地球同步轨道处动力学与反馈控制做出研究.李博文[15]对两自旋卫星在地球同步轨道的非线性反馈控制做出研究.由于国内关于库仑卫星编队研究很少，可以借鉴电磁卫星编队相关研究[16-17].

本文重点研究了两颗库仑卫星在地球同步轨道处径向两星库仑编队构型保持的自适应控制问题，所采用的自适应控制方法可以推广到多星库仑编队构型保持控制问题.首先推导了二星库仑编队在地球同步轨道处径向两星动力学方程，并考虑工程实际中外界环境干扰与库仑力模型误差的参数不确定性，设计了自适应控制律.最后进行数值仿真，并将仿真结果与文献[6]中所用的传统PID控制进行比较，验证了该控制方法的有效性.

1 两星库仑编队动力学建模

假设地球的质量为M，为了描述卫星之间的相对运动，建立Hill轨道坐标系H ∶{Or,Oθ,Oh}，Or沿地球半径指向背离地心方向，Oθ指向卫星编队质心的速度方向，Oh指向卫星轨道角速度方向，Oh与Or,Oθ构成右手系(如图1所示).用ri表示库仑力编队中第i颗卫星在地心惯性坐标系中的位置，rc为编队质心在惯性坐标中的位置矢量，第i颗卫星相对编队质心的位置矢量ρi=ri-rc，则第i颗卫星在Hill坐标系中的位置矢量为：

(1)

这里左上角标“H”表示矢量在Hill坐标系中的投影.

下面以整个库仑卫星编队系统为研究对象，借鉴绳系卫星编队的建模思想[17]，建立两星库仑力卫星编队飞行的非线性相对运动动力学模型.同时，该动力学模型也可以用来描述其他类型的非接触力卫星编队的相对运动.

由于编队质心位于坐标系原点处，所以质心条件可以表示为：

m1ρ1+m2ρ2=0

(3)

(4)

其中，L表示两星之间的距离.

(5)

在Hill坐标系H中，星1位置向量可表示成：

(6)

根据质心条件，星2位置向量可表示为：

(7)

在Hill坐标系H中，第i星的惯性速度可表示为：

(8)

其中，rc表示位置向量的质心，Ω为质心恒定的轨道角速度.所以系统的动能为

(9)

利用上述方程可得

(10)

二星编队由地球所引起的重力势能为：

(11)

二星编队的库仑力势能为：

(12)

其中kc=8.99×109(N·m2/C2)为静电引力常数，q1和q2分别为两航天器的带电量，λd为德拜长度，式中指数项取决于λd.德拜长度λd的大小主要取决于卫星所在空间环境等离子密度的大小，在地球低、中轨道德拜长度λd只有几厘米，而在地球高轨道(如GEO)德拜长度约为140～1 400m.由德拜公式，在地球低、中轨道库仑力很小，因而无法应用库仑力编队，只有在如地球同步轨道的高轨道才可以实现.

利用拉格朗日函数L=T-(Vg+Vc)在下列方程中推导出非线性动力学方程[8]

(13)

qi=(θ,ψ,L) (i=1,…,3)

(14)

其中Qi为第i星广义力.

易得，两星库仑编队非线性动力学方程式如下：

3Ω2cos2ψ)=aθ

(15)

3Ω2sinψcosψ=aψ

(16)

(17)

其中Q=q1q2，aθ与 aψ为外界扰动力在θ和ψ方向上产生的加速度.本文均选取地球高轨道附近.上述式(15)～(17)为径向两星库仑编队运动在地球高轨道处耦合的非线性常微分动力学方程.

当编队相对于Hill坐标系H保持静态稳定，非线性运动方程满足下列轨道径向方向平衡条件

(18)

L=Lref

(19)

利用式(16)～(17)可得到实现静态编队平衡所需的参考电荷积为

(20)

式(15)～(17)可简化为：

(21)

G=

考虑环境外部干扰作用，式(21)可表示为

(22)

考虑库仑卫星形状和电荷分布情况，卫星之间库仑力真实值与实际计算值存在误差.通过修正库仑力计算值减小误差.修正库仑力可表示为

(23)

考虑外界干扰力和库仑力静电场近似模型的不确定性，两星库仑编队飞行的动力学方程可记为

(24)

式中，

2 编队队形保持自适应控制

δX=X-Xd

(25)

速度误差为

(26)

不确定参数的估计误差为：

(27)

复合误差可记为：

(28)

对式(28)求导：

(29)

令控制加速度控制律如下:

(30)

利用Lyapunov稳定性理论证明编队控制系统稳定性.定义Lyapunov函数为

(31)

式中Γ为对角矩阵.

对式(31)求导：

(32)

取自适应控制律为：

(33)

式中M=KY.

将式(30)和(33)代入式(32)可得到：

(34)

假设外界位置干扰力和卫星间库仑力模型不确定修正因子都是随着时间缓慢变化的，则式(34)化为

(35)

3 数值仿真

本节应用Matlab/Simulink软件进行仿真校验.考虑卫星在编队飞行过程中受到的外界干扰力作用和卫星间静电场模型误差，对径向两星库仑编队在地球同步轨道上静态构型保持的自适应控制律进行仿真验证，并与文献[6]中传统PID控制进行比较(PID的控制参数参照文献[6]，这里不在赘述).

自适应控制参数设计为：

Λ=diag{0.01,0.01,0.01}，

Kp=diag{0.01,0.01,0.01}，

Γ=diag{1,1,1,0.1,0.1,0.1}.

仿真结果如图3～7所示，其中图3～6为自适应控制与PID控制对比图，图7为单独自适应控制图.图3表示编队构型在轨道径向实际卫星间距L随着时间的变化曲线，图4和图5分别表示俯仰角误差δθ和偏航角误差δψ随时间的变化情况.由图3～5可以看出，在两种控制律控制下，卫星间相对距离L和角度误差均能收敛到期望状态，但相比之下自适应控制超调量小，响应速度快，控制性能明显优于传统PID控制.仿真结果表明，在自适应控制律的作用下，编队在3.5小时左右达到了预期构型并稳定运行，设计的编队构型保持控制律可行、有效，控制性能好.图6表示在两颗卫星表面所带电荷乘积随着时间的变化情况.由图6明显能够比较出自适应控制在调节时间和超调量优于传统PID控制，即自适应控制稳定性好，反映响应速度快.另外自适应控制能够明显克服外部环境干扰，使编队在深空环境中能够保持稳定构型运动.

图7表示库仑编队构型在自适应控制过程中，θ、ψ和L三个方向上的控制加速度随时间的变化情况.由于在L方向存在外界环境干扰力，在构型达到期望值时，仍需提供加速度来克服干扰作用，才能使库仑编队一直稳定飞行，加速度呈现近似正弦变化趋势，与假设的未知干扰加速度一致；另外两个方向的干扰加速度估计值渐进为零，与假设基本吻合.由于L方向加速度由库仑力提供，所以库仑加速度曲线的变化同电荷乘积Q12曲线的变化一致，即通过改变电荷乘积而改变加速度大小，使编队构型渐进稳定并克服外界环境干扰力作用一直按期望构型飞行.

4 结 论

本文研究了地球同步轨道处两星库仑编队构型保持的自适应控制问题.首先建立了在地球同步处径向两星库仑编队的动力学模型，考虑在近地环境中库仑卫星编队构型保持实际可能面临的外界环境干扰和库仑力计算模型的不确定性，本文设计了编队队型保持的自适应控制律，并利用Lyapunov稳定性理论证明了系统闭环稳定性.另外将本文设计的自适应控制律与传统PID控制进行比较，仿真结果证明本文提出的自适应控制律超调量更小、响应速度更快，具有良好的鲁棒性，控制性能明显优于PID控制.此外，本文研究的库仑卫星编队构型保持自适应控制方法可应用于多星库仑编队的构型保持与重构任务.

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Adaptive Control of Two-Craft Coulomb Formation in Track Radial

SHI Qiang, YUAN Changqing, WU Liyao

(AviationUniversityofAirForce,Changchun130022,China)

The adaptive control problem of two-craft Coulomb formation configuration keeping at geostationary orbit is investigated. the non-linear relative kinetic model of the two-craft Coulomb formation at geostationary orbit is established. Based on the non-linear dynamic model, considering the unmodeled disturbance force in space environment and the model error generated during the non-linear dynamic model, an adaptive control law is designed. The numerical simulation is carried out, and the results are compared with the traditional PID control. The simulation results show that the proposed adaptive control law has fast response, good stability, and the formation configuration can converge to the expected one. The control performance is also proved to be better than PID control.

Coulomb formation； geostationary orbit； configuration keeping； adaptive control

*国家自然科学基金资助项目(11372353).

2017-03-21

施 强(1993—)，男，硕士研究生，研究方向为卫星库仑力编队动力学与控制;袁长清(1974—)，男，副教授，研究方向为航天器动力学与控制;吴立尧(1992—)，男，博士研究生，研究方向为卫星库仑力编队动力学与控制.

V44

A

1674-1579(2017)03-0028-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.03.005