通用常规根轨迹动态绘制系统的设计

吕丽君，贾兰芳，苏晓慧

（长治学院 电子信息与物理系，山西 长治 046011）

通用常规根轨迹动态绘制系统的设计

吕丽君，贾兰芳，苏晓慧

（长治学院 电子信息与物理系，山西 长治 046011）

根轨迹法是自动控制原理课程中的一种重要分析方法。对于高阶系统，课堂上难以根据绘制法则绘制精确的根轨迹图形。利用matlab界面编程技术实现了各阶系统根轨迹的动态绘制，绘制过程中通过点击按钮实现暂停和继续，有助于学生对根轨迹概念的理解。最后给出二阶系统和三阶系统的根轨迹图形，验证了系统结果的正确性。

自动控制；根轨迹；matlab；动态绘图

根轨迹法作为经典控制理论中分析线性定常系统常用的三种基本方法之一[1]，具有简便、物理概念清晰的特点。得到闭环系统的根轨迹图形后，不仅可以判断系统的稳定性，还可以分析系统的动态性能，从而为改善系统提供依据[2]。在自动控制原理课程的传统教学中，常依据绘制法则来绘制根轨迹。利用该方法可以快速得到根轨迹的大致形状，但不精确，而且也不够直观，容易挫伤学生的学习兴趣。近年来，国内许多高校[3-7]在课堂上直接调用Matlab rlocus函数实现闭环系统根轨迹的静态展示，收到了较好的效果。在此基础上，通过编写程序实现了根轨迹的动态绘制，相比于直接调用rlocus函数，动态绘制可以实现绘制过程暂停和继续，更利于学生对根轨迹概念的理解和运用。

如今，Matlab语言[8]也早已走进大学课堂，该软件以其强大的数值分析、数值和符号计算、工程与科学绘图、控制系统的设计与仿真、数字图像处理、数字信号处理、通讯系统设计与仿真以及财务与金融工程等功能在很多学科中得到运用。使用该语言编写程序，以用促学，有利于激发学生学习兴趣。

1 根轨迹及绘制规则

根据经典控制理论中的时域分析法，闭环系统动态性能与其特征方程的根在复平面（s平面）上所处的位置有关。但通常求解高阶系统特征方程的根十分困难，从而限制了该方法在高阶系统中的应用。此时，运用根轨迹法，可以方便确定s平面上闭环极点随着开环增益变化的运动轨迹。进而可以分析对应于开环增益取某一个值时，闭环系统的性能。

常规根轨迹是根轨迹的一种，就是当系统开环传递函数的开环增益（k）由零到无穷大变化时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹[2]。

假定单位负反馈二阶控制系统的框图如图1所示。

图1 单位负反馈二阶控制系统框图

根据反馈变换法则[2]，系统的闭环传递函数为：

闭环传递函数的分母，即为系统的特征方程：s2+3s+k=0。运用解析法即可求得特征根为，可以看出特征根与k值的大小有关。

将特征根随k（0→∞）变化而变化的过程全部绘制在s平面上，就得到系统的常规根轨迹，如图2所示。

图2 二阶单位负反馈系统根轨迹示意图

对于高阶系统，其特征方程是高阶方程，通常难以直接通过解析法得到闭环系统的特征根。此时可以根据绘制规则，得到根轨迹图形。根轨迹的绘制法则主要包含：根轨迹的起点和终点、根轨迹的分支数、根轨迹的对称性、根轨迹的渐近线、实轴上的根轨迹、分离点和分离角、起始角和终止角、与虚轴交点、根的和等方面[1,2]。

2 系统设计

2.1 软件总体功能设计

系统功能如图3所示，主要包含三个界面，分别是根轨迹显示界面、参数输入界面、帮助界面。其中根轨迹显示界面可以实现根轨迹的显示、动态绘制过程暂停、继续以及清空绘图区域等功能；参数输入界面用来读取开环传递函数的系数；帮助界面主要用来提示用户输入系数的格式和需要注意的问题。

图3 通用常规根轨迹动态绘制系统功能结构图

2.2 各界面布局

图4 通用常规根轨迹动态绘制系统各界面图

2.2.1 根轨迹显示界面

根轨迹绘制界面如图4（a）所示，有绘图区域和绘制、暂停、继续、清除、关闭按钮。其中，绘图区域用来显示系统的根轨迹，点击绘制按钮，弹出参数输入对话框。绘图过程中可以通过点击暂停和继续按钮实现动态绘图的暂停和继续。清除按钮可以清空绘图区域，为再次绘图做准备。关闭按钮实现软件的关闭。

2.2.2 参数输入界面

参数输入界面如图4（b）所示，用户可在两个可编辑文本框中输入开环传递函数的系数，默认参数为，分子系数[2 5 1]，分母系数[1 2 3]。点击确定，即开始绘图。如果用户不清楚输入格式，可以点击帮助按钮弹出帮助提示框。

2.2.3 帮助界面

帮助界面如图4（c）所示，主要用来提示用户输入系数的格式和需要注意的问题。点击，我知道了按钮，该窗口关闭。

2.3 主要程序段

程序中使用自定义函数draw_gen(num,den)实现根轨迹的动态绘制，其基本流程为：将用户输入两个可编辑文本框的参数分别赋值给num变量和den变量，利用tf函数将其生成传递函数。调用matlab内部rlocus函数绘制根轨迹，以便获取根轨迹数据和坐标轴范围。将获取的数据使用for循环中的plot命令依次绘制各数据点，结合暂停（pause）命令，实现动态绘制。自定义函数draw_gen(num,den)程序如下：

3 结果分析

3.1 二阶系统

3.2 三阶系统

图6 三阶系统根轨迹图形

4 结论

该系统操作简便，只需在文本框中输入参数即可实现各阶控制系统根轨迹的动态绘制，学生无需面对繁杂的程序段。有助于提升学生学习自动控制原理课程的兴趣，同时也能使学生认识到学习matlab语言的重要性。另外，通过对比其他文献的例子，也证明了该系统绘图结果的正确性。

［1］张晋格.自动控制原理（第2版）［M］.哈尔滨工业大学出版社,2007.

［2］孟庆明.自动控制原理（非自动化类）（第二版）［M］.高等教育出版社,2008.

［3］毕效辉,陈少昌,姚琼荟.对Matlab根轨迹绘制法的一种补充［J］.海军工程大学学报,2006,(01)：47-50+62.

［4］杨艳丽,郭一锋,张国良,王蜂.MATLAB仿真在自动控制理论教学中的应用［J］.教育教学论坛,2016,(21)：266-267.

［5］张琦.根轨迹图绘制方法对比分析［J］.机电技术,2012,(05)：22-23.

［6］张春慧,宗哲英,王蒙,任宝鹏.基于MATLAB GUI的自动控制原理虚拟实验平台的开发与研究［J］.内蒙古农业大学学报(自然科学版),2015,(03)：101-105.

［7］王彦良.基于MATLAB绘制各种根轨迹的图形用户接口设计［J］.教育教学论坛,2010,(20)：100-101.

［8］陈垚光等.精通MATLAB GUI设计（第2版）［M］.电子工业出版社,2011.

Design of the General Root Locus Dynamic Rendering System

Lv Li-jun,Jia Lan-fang,Su Xiao-hui
（Department of Electronic Information and Physics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

The root locus method is a kind of important analysis method in the course of automatic control principle.For high order system,it is difficult to precisely draw root locus figure according to the mapping rule.In this paper,matlab GUI technology has been used to achieve the root locus'dynamic drawing,which is beneficial to the students'understanding of the root locus'concept.Finally,the root locus of second order and third order system are given,which verifies the correctness of the system results.

autocontrol;rootlocus;matlab;animation

TB114.2

A

1673-2014（2017）01-0041-04

（责任编辑 郝瑞宇）

2017年山西省高等学校教学改革创新项目（J2017119）

2017—02—25

吕丽君（1988— ），男，山西屯留人，硕士，主要从事数据可视化研究。