“鸡兔同笼”问题的研究综述

2017-06-30张莉罗燕李昌勇

中国校外教育(下旬) 2017年3期

张莉+罗燕+李昌勇

摘要：鸡兔同笼问题是我国古代数学名题，同时也是多种数学思想与解题方法的载体，在小学教材和竞赛教学中都占有重要地位。在查阅有关文献的基础上，从鸡兔同笼的历史背景、教学研究、解法研究等几方面，对国内鸡兔同笼相关文献进行了梳理，期望为鸡兔同笼问题的相关研究提供参考。

关键词：鸡兔同笼教学解法综述

一、“鸡兔同笼”历史背景

“鸡兔同笼”最初记载于公元 3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。其中将“鸡兔同笼”问题叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”后又收录于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法统宗》第八卷的“少广章”，问题叙述时把“雉”改为了“鸡”，由此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。

古人对于鸡兔同笼的问题早已给出了解法。《孙子算经》中的解法可概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得”。此方法即为“半足法”。《算法统宗》给出了两种不同于“半足法”的算法，一种算法为：“置总头倍之得七十，与总足内减七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八足，总足减之余四十六足为鸡足，折半得二十三。”另一种算法是先求鸡的只数，与先求兔的只数程序基本相同。这个方法叫做“倍头法”。

二、鸡兔同笼相关研究的分类统计

根据CNKI检索结果，最早关于“鸡兔同笼”的文章写于1950年，本文就2008年至今的229篇文章进行分析，发现主要有教学类和解法类两大方面的研究。教学类文章大致有教学设计、课堂实录及思考这两类，解法类大致涵盖假设法、方程法、列表法、画图法和面积法，还有一些特殊的方法。据统计，教学设计的文章占25%，课堂实录及思考占45%，解法占30%，可见从2008年至今人们更关心“鸡兔同笼”教学问题。解法类文章中，关于假设法的占35%，方程法占24%，列表法占22%，画图法占13%，面积法占4%，其它方法占2%。可见假设法是人们研究最多的，也是解决“鸡兔同笼”的一般方法；方程法是链接小学与初中的桥梁，是代数思想的初步认识，因此方程思想还是受到了大家的重视；列表法和画图法是低年级学生解决鸡兔同笼时最直观的方法，符合低年級学生的认知水平，所以它们所占的比重也较大；其他方法研究的相对较少。

三、鸡兔同笼教学研究综述

（一）教几种方法

人教版的编写目的是希望学生掌握不同的解决问题方法，所以执教人教版“鸡兔同笼”的老师在教学中更多地选择两种及以上的方法。

《把学生的潜能变成现实——一节“鸡兔同笼”课的思考》中，李玲玲认为学生已经接触过“鸡兔同笼”问题，故可以把教材上的三种列表法直接呈现成学生，重点让学生来观察三种列表法特点，学生基本能用自己语言描述，李玲玲再进行小结并板书这三种列表法：逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法，再让学生尝试其他方法，如假设法、列方程、画图法，由老师引导全班体会和学习这些方法。可以看出李玲玲是在一定程度上将这节课作为了活动课，将学生置于“已会”的状态，注重学生探索，在活动中让学生体会了多种方法并感受参与课堂的愉悦感，不过这种教学更适合基础较好的班级。

《让数学课堂充满生命成长的智慧—“鸡兔同笼”教学实录与评析》中何仲秋先是设计了一个小活动让学生感受“猜测—验证—调整”；接着抛出“鸡兔同笼”问题并引导学生猜测列表，围绕“怎么猜”“怎么验证”“猜错了又怎么办”来探讨“猜”；学生独立完成表格并分享思路；接下来，何仲秋引入假设法，假设所有兔子都站起来，分析这时腿的数目变化，发现兔子站起来就相当于都看成鸡了，提出假设思想并请学生计算；此外，何仲秋还设计了方程法。

作为小学高年段的课堂教学，大部分老师都是选择列表、假设、方程等几种方法给学生呈现，而在教学安排上又讲究了几种方法的先后顺序，强调了解法之间的关联。

（二）教一种方法

邱良洪在《“鸡兔同笼”教学设计（一）—尝试与猜测》中给出了专门讲授列表法的教学设计。课上老师给出问题背景，让学生经历猜测、尝试和不断调整的过程，在解决鸡兔同笼问题的过程中经历逐一列表、取中列表和跳跃式列表，对比三种方法的优缺点，使学生获得用列表解决一般问题的能力，感悟枚举的数学思想。

陆潮江在《自主选择，自主体会——列方程解“鸡兔同笼”问题教学实录》中设计着重讲授方程法的教学。老师首先让学生用已学的方法解决最常见的“头和脚和”型鸡兔同笼问题，再引入用方程法解鸡兔同笼，突出方程的思想。之后依次呈现出“头和脚差”“头差脚差”型鸡兔同笼问题，促使学生自觉选择方程法，感受方程法的优越性，重点让学生获得用方程法解决问题的能力。

潘声荣在《从“鸡兔同笼”问题谈假设策略的教学》着重讲授假设策略。老师首先让学生通过画图、列表解决数量简化后的“鸡兔同笼”问题，初步体会用假设分析数量关系的过程，再让学生利用假设法解决“鸡兔同笼”原题，之后通过反思提炼得到假设策略。

只讲授一种方法有利于老师对某一方法进行有深度的教学思考，学生深入地学习这类方法蕴含的数学思想，避免了方法多却不精的情况，至于选择哪种方法就需要老师针对学情适当选择，但是几乎没有只讲画图和面积法的专题课程。

四、“鸡兔同笼”解法研究综述

（一）假设法

假设思想方法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。

解决鸡兔同笼问题可从不同角度假设。沈婷在《谈小学数学思维能力培养——以“鸡兔同笼”问题为例》中写到极端假设法：假设全是鸡（兔）。假设全是鸡，35只鸡共70只脚，但实际是94只，假设比实际少24只脚，少在将4只脚的兔看成2只脚的鸡，每只兔少2只脚，所以兔共只，鸡35-12=23只。假设全是兔，思路是一样的。

在林革的《“鸡兔同笼”问题解答集锦和评析》中谈到我国科学院院士张景中教授给出的一种解法，称其为公平设计法：兔有4只脚，鸡只有2只脚不公平，所以我们就将鸡的两个翅膀也看作脚，那么总共有35×4=140只脚，如果不把翅膀当作脚，那么脚94只，所以多出的140-94=46只脚为鸡的一对翅膀，所以鸡有46÷2=23只，兔有12只。

北京大学附中特级教师周沛耕提出了“抬脚法”：假设把鸡和兔都抬起两只脚，则只有兔子还有两只脚在地上，地上总共剩下94-35×2=24只兔子脚，故兔共12只，鸡35-12=23只。

美国著名数学教育家G·波利亚十分推崇《孙子算经》中的“半足法”，并称之为“金鸡独立法”，这种方法也可称为“折半法”。沈婷还写到“增头法”，这其实就是《算法统宗》里的“倍头法”。

假设法有利于发展学生的逻辑推理能力，渗透化归的思想。上述几种方法虽然解决问题的角度不同，但都是立足于假设思想上，这为我们用假设思想解决问题提供了不同的思考方向。

（二）方程法

不少文章中均提到了用一元一次方程解鸡兔同笼，设鸡x只，兔（35-x）只，由数量关系可列方程：2x+4（35-x）=94，解得x=23，即鸡23只，兔35-23=12只。也可设兔x只，过程类似。

二元一次方程组，设鸡x只，兔y只，列方程组：解得x=23，y=12。

方程法体现的是代数思想，需要一定的抽象思维和用符号代替数的能力，故方程法比较适合高年级学生。

（三）列表法

北师大五年级数学教材呈现了三种列表法。第一种是逐一列举，将鸡的只数从1开始依次列出，再计算出相应的兔的只数以及总的脚数，找到正确答案为止；第二种跳跃列举，跳跃计算鸡兔的数量，逐步逼近鸡兔数量的可能性范围，以减少列举的次数；第三种取中列举，鸡兔共35只，取最中间的数开始列举，观察列举的脚数与实际的脚数的差值，判断正确值从中间值的左边还是右边，再在选择的一面继续取中列举，这样大大缩减了列举的范围。方爱斌也提到了利用特殊值进行合理推理，逐步逼近正确值，提出了取中猜测和跳跃式猜测。

常规的逐一列举法利于低年級的学生理解，锻炼了学生的估算和推理能力，培养了学生用列表法解决问题的策略。跳跃列举、取中列举是优化后的列表法，培养了学生对特殊数据的敏感性，渗透了极限逼近思想。

（四）面积法

李树清在《“鸡兔同笼”问题的解法探讨》中提出把“鸡兔同笼”变为一道几何题来做，如图1所示，AB=35表示共35个头，BC=2表示鸡2只脚，AF=4表示兔4只脚，表示鸡兔共94只脚，求AH和HB，即兔、鸡各有多少只。此法巧妙地将“脚总数=鸡头数×2+兔头数×4”转化为“长方形面积=长×宽”。延长CD交AF于G，可得到，则，所以兔头数，得兔有12只，故鸡有23只。

杨通的《数形结合解决“鸡兔同笼”问题》和林革的《“鸡兔同笼”问题解答集锦及评析》也提到了面积法，思路与李树清一致。

周春荔在《“鸡兔同笼”问题的两个新解法》一文中提出两个图解新法，解法一过程如下：设鸡只，共只脚，兔只，共只脚，则列得方程组：，得即平均每头动物只脚。由此可作图2，AB表示35个头，BC表示鸡头数，BF表示2只脚，AC表示兔头数，AE表示4只脚，AP即平均每头动物只脚。从图2可以看出，表示共有94只脚，由此得到，式子表示：，解得，故，。解法二则将问题转化为和差问题，设鸡只，兔只，如图3，表示鸡脚，表示兔脚，根据图形面积关系可列方程：，解得结合解得，。

李树清所说的面积法，实质是将算术问题几何化，充分体现了数形结合和构造的思想。周春荔所提的新解法也是基于将算术问题几何化的想法，但是先是对问题进行转化处理并且对几何图形的构造也进一步扩展。面积法是一种具有挑战性的方法，需要较强的几何思维，所以目前对面积法的研究并不多。

（五）画图法

在低年级教学中，不少老师选择画图法给学生直观讲解。所谓画图法即画一个○表示头，线段表示脚，画出35个○，在每个○下画两只脚，共70只脚比94少，所以需要添脚，而一只兔比一只鸡多两只脚，所以每次给一个○加两只脚变成兔，发现给12个○添脚刚好满足，故兔12只，鸡23只。也可先全画成兔，再去掉多的脚。画图法的实质是假设，只是比纯假设列式增加了形象的示意图。

此外，还有一些特殊解法，例如画线段图法、比例分配法、差量作比法、代数消元法，纪祥在《“鸡兔同笼题，千年没变过”说开去》中甚至主张将鸡兔的数量关系与向量矩阵的知识联系起来，可见“鸡兔同笼”的解法越来越丰富。

五、小结与研究展望

“鸡兔同笼”问题可以体现化归、方程、建模、数形结合等数学思想，是培养学生思维能力的重要载体，具有很大的教学价值，它有利于培养学生一题多解和建立模型的思维习惯。

分析发现“鸡兔同笼”解法和教学的研究已十分丰富，但它具有的数学价值却不仅仅止于解决“鸡兔同笼”本身或者传达一两种数学思想方法，在数学核心素养影响下，笔者认为有待研究的问题是：如何对“鸡兔同笼”再设计，才能实现发现学生的数学核心素养的目的！

参考文献：

[1]方爱斌.发现特殊值，渗透极限思想——谈《鸡兔同笼》中尝试列表法的优化策略[J].数学大世界，2010，（05）.

[2]王琰玲.巧用假设思想方法解决问题例谈[J].中国校外教育，2014，（05）.

[3]朱云.鸡兔同笼问题三种常见解法的特点及其在教学过程中的意义[J].职校论坛，2012，（15）.

[4]刘东旭.数学模型思想的渗透——以“鸡兔同笼”问题教学为例[J].教学月刊，2015，（04）.

[5]邱良洪.“鸡兔同笼”教学设计（一）——尝试与猜测[J].小学教学设计，2013，（10）.

[6]陆潮江.自主选择，自主体会——列方程解“鸡兔同笼”问题教学实录[J].小学教学，2009，（12）.

[7]潘声荣.从“鸡兔同笼”问题谈假设策略的教学[J].科教文汇，2011，（10）.