一道中考填空压轴题的解疑答惑之路

于彬+张俊连

1试题呈现

如图1，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的取值范围是.（2016年三明市）

2学生访谈

笔者在学校组织的一次毕业班水平模拟考试中选择此题（2016年三明市中考数学试题填空题最后一题）作为填空题的一道压轴题（填空题的倒数第二题），学生出错率极高，基本没有正确的.为了真实了解学生在考场上的所思所想，特别是解决此题的疑惑点在哪里，笔者組织了不同层次水平的学生进行了初步了解.

学生1（水平偏下）：老师，这个题目的题意非常好理解，但是就是不知道如何下手.

学生2（水平居中）：在考场上，我连接了对称点（即连接PM、PN），试图将MN放在△PMN中解决，可是发现条件太少，不能解决.

学生3（水平居中）：我也想到了学生2的方法，我看出了∠MPN=120°，接下来就不知道怎么做了……

学生4（水平居上）：这个题目的题干简洁，图形简单，这种题目往往入手比较难，需要我们去发现对称以后有没有形成新的图形，在分析过程中我发现了“三角形中位线”的基本图形，可是分析到这里，也就走不下去了.

学生5（水平居上，这是班里唯一一个得出正确答案的同学）：老师，我凭感觉得到当点P与点B或C重合时，线段MN取到最大值；当P为BC的中点时，线段MN取到最小值，至于为什么，我还真说不清楚.

通过上面与学生的访谈可以看出学生都能够看懂题意，大多数学生都有一定的解题思路，学生的疑惑主要集中在不能够将线段MN放在特殊的图形中去解决，即使有的同学能够想到（学生4），接下来也不知道如何将MN表示出来，问题就此搁浅.

3课堂讲解

在课前和学生访谈的基础上可以看出学生主要是在问题解决的关键环节卡壳，不能发现“隐含”条件，因此需要教师设计一定的“脚手架”问题，引导学生突破问题解决过程中的疑惑点，在此基础上，为了更好地解疑答惑，设计了如下讲解思路.

第一种思路：发现图中“隐含”的等腰三角形

问题1：你能根据图形特点，发现图形中的等腰三角形吗？（通过此问题的引导，大多数学生都能够根据“对称”的特点发现图形中的两个等腰三角形：△BMP和△CNP）

问题2：在△MPN中如何将线段MN表示出来？关于△MPN你都知道了什么？（用未知数x表示出了两条边PM和PN，而且知道∠MPN=120°）

问题3：通过上面的分析可以看出△MPN不是特殊的三角形，应该怎么办？（下面其实就是解斜三角形的相关内容了，由于学生在初中阶段不要求掌握，需要“化斜为直”，这在解直角三角形中经常出现，当然此时需要出现特殊角）

笔者习惯于在开展压轴题教学之前先进行学生访谈，一是通过访谈可以了解学生的疑惑在哪里？学生卡壳的地方在哪里？上述课堂讲解中的方法1和方法3是笔者预设的两种解法，特别是方法1正是对学生2和学生3的一种回应；另外，通过访谈也可以开阔教师的思路，达到教学相长的目的.方法2是受学生4的启发而产生的，特别是方法4更是在学生4说的“三角形中位线”的基本图形的基础上进一步思考产生的，当然这需要教师具备一定的知识积累.方法5可以看作是对学生5的回应，就笔者而言方法5的产生可以说是来自于“灵感”，但更准确的说应该是对图形关系进一步研究的基础上得到的.

此外，笔者在解题教学中不提倡搞“题海战术”，而是应该通过一题多解、多解归一、一题多变、多变归一来拓展学生的视野，不断提高其解题能力.

至此，一道中考填空压轴题的解疑答惑之路结束了，当然整个过程不一定准确，更不一定正确，欢迎各位专家和同行批评指正.