从一道上海高考题的改编到课堂教学

江苏省东台市安丰中学 (224221) 仇爱华

从一道上海高考题的改编到课堂教学

江苏省东台市安丰中学 (224221)
仇爱华

1.试题改编

2015年上海高考第21题：已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S.

(1)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A,C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2-x2y1|；

这道高考题背景深刻，它的思路不偏不怪，符合解析几何中方法性及运算能力的考查.笔者认为，唯一遗憾的是试题设计的指向性强，限制了考生的思路，若换一种设计方式，让考生自行选择思路，效果会更好.为此，笔者对该考题进行了适当的改编.

改编题：已知椭圆x2+2y2=1，斜率分别为k1,k2的两条直线l1和l2都过原点，且分别交椭圆于A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S.

(1)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，求证：S=2|x1y2-x2y1|；

2.课堂教学

笔者把这道改编题用作高二数学期末复习的范例，由于方法灵活、可探究性强，课堂气氛活跃，自感取得了满意的教学效果.现把相关教学内容整理如下，供读者参考、研讨.

2.1 面积公式的选用

改编题的第(1)小题，学生能想到原高考题方法：

经教师点拨后，学生都能用下列方法完成：

法二:∵A(x1,y1)，C(x2,y2)，∴OA=

虽然方法二在计算sin∠AOC时有点繁，但它是解决本小题合理、有效的通法，也需要学生掌握.

2.2 运算方向的选择

第(2)小题，学生都知道用上小题的结论S=

2|x1y2-x2y1|，但最初的思考有差异，有学生利用斜率k1,k2表示A,C两点的坐标，然后代入S=

现如今，学校为了让“减负”出成效，往往与教师签订“减负”工作责任书，把数学课堂作业能否当堂完成列入考核内容。很多教师迫于学校考核的压力，把当堂完成课堂作业简单的等同于完成教学任务。

2|x1y2-x2y1|.

完成改编题的解答后，笔者提出探究问题：条件不变，设k1k2=m≠0，试问当m为何值时，平行四边形ACBD的面积S最大？绝大多数学生想到运用方法一完成，少数学生先用方法二，不奏效，很快转而用方法一.

解:由k1k2=m≠0，不妨设k1>0，则k2与m同号.

该探究问题揭示了高考题的背景，挖掘其本质，把课堂推向高潮，增强了学生研究问题的能力，是本节课的亮点.

3.两点思考

3.1 增加发散性试题的比例

发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异性思维.它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法.它需要发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方想开去，并通过知识、观点的重新组合，寻求更多、更新的设想、答案和方法.

一般来讲，试题的设计应让考生有自由发挥的空间，考查学生的发散思维能力，鼓励考生想出优秀的解法解题，这样的试题用于课堂教学也能调动学生的积极性.上海市高考数学试卷开放性很强，是全国高考命题的典范.当然，本文中的这道高考题，也许是命题者有其他想法，笔者不再妄议.

3.2 加强探究性教学

现在的高中生由于高考升学的压力，他们往往都苦于题海战，是在压迫状态的学习，对数学学习毫无兴趣可言.作为教师，我们有义务、有必要开展数学活动课，让学生体会数学学习的乐趣，而不惧怕数学学习，真正调动他们学习数学的积极性，让他们在活动中探究新问题、解决新问题，以提升他们数学的研究能力.那么我们怎样才能开展好一节探究性学习课呢？笔者认为可以从以下几个方面入手：

(1)首先要加强解题、研题能力.要充分研究高考题、自主招生试题等的解题方法，并有挖掘其内涵与背景的能力，就像本文中，教师需要加强学习研究，才能提出“探究k1k2=m为何值时，平行四边形ACBD的面积S为最大？”，这是硬功夫；

(2)其次要拓宽自身的数学知识视野.比如，我们可以通过学习教材中的阅读材料、杂志上新颖的素材等拓宽自身视野，并寻找它们与学生已有知识的联系，只有我们具备了丰富的知识视野，才能为学生选择多角度、全方位的探究性活动课；

(3)最后我们还要走到学生中去.寻找他们的困惑问题、巧解(错解、多解)方法等以此作为研究，也能得到好的探究性素材.

总之，我们教师需要继续学习，不仅要学习先进的教育教学理念，而且要通过自己的学习钻研或参加继续教育培训来提高自身的数学专业素养.如此，只要我们做一个研究型的教师，就能为学生提供丰富多彩的研究性课堂.