建立数学模型，解决初中数学实际问题

广东省韶关市新丰县梅坑中学 许小史

经过多年的课堂教学实践，让我深深体会到数学教育的根本仼务，在于教会学生如何学习、如何应用知识解决实际问题，作为数学教师，应该教育自己的学生学会把实际问题转化为数学问题加以解决，即建立数学模型。也许很多教师都会问：“为什么自己的学生这么笨，解决实际问题的能力这么差”，其实这些问题跟我们平时的教学有很大的关系，正因为我们没有对学生进行建立数学模型的系统训练，没有培养学生的建模意识，因此，学生解决问题的能力得不到提高，影响了学生的学习成绩。所以，本人认为，我们数学教学中的一个重点是培养学生的建模意识，训练学生的建模能力。把实际问题转化为数学问题是绝大多数初中学生的难题，只有在教学中有意识的培养学生的建模思想，才能帮助学生克服这一难题，释放出学习和解决实际问题的强大动力。那如何构造数学模型呢？

一、对数学建模的认知

在课堂教学中，要想培养学生运用数学模型去解决实际应用问题的意识，成功建立起数学模型，就必须让学生首先认知数学模型。数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。一切数学概念、各种数学公式、方程式、各种函数关系式等都叫做数学模型。

建立数学模型的方法是把实际问题构造成相应的数学模型，通过对数学模型的研究，从而解决问题的一种数学方法，通常分以下三个步骤。

第一，把实际问题的特点进行数学抽象，构造适当的数学模型。

例1.连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥（晴川桥），它尤如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观，桥的拱肋ABC视为抛物线的一部分，［桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的距离均为5米（不考虑系杆的粗细），］拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米。

（1）求桥的拱肋所对应的抛物线的解析式；

（2）正中间系杆OC的长？

分析：运用建模思想，将实际问题中的信息语言转换成数学语言，抽象归纳其中的数量关系，转化为数学问题，画出数学图形，从而运用二次函数的有关知识加以解决。

数学建模：

第二，对所得到的数学模型，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。

模型求解：

解：(1)设抛物线的解析式为y=ax²+c.

∵点B(140，0)，F(70，42)在该抛物线上.

第三，联系实际问题，对所得的答案进行深入的讨论，给出实际问题的答案。

二、数学模型的常见类型

在课堂教学中，我把初中阶段常见的数学模型分为四类：①三角函数、函数模型；②方程、不等式模型；③几何模型；④统计模型。下面以课堂教学中的案例进行分类说明。

三、明确学生数学建模障碍，寻找解决方法

第一，初中数学实际应用问题中，常常有许多其他知识领域的名词术语，由于学生与外界接触较少，对这些名词术语感到陌生，不知其意，从而就无法读懂题，无法正确理解题意，更谈不上解决问题。比如对实际生活中的方向角、坡角、采光度、利率、利息、利润、打折等概念不理解，影响了学生构建数学模型。针对学生此方面的障碍，我通过让学生运用网络平台及教师讲解的两种方式，将这些名词的意思完全弄明白后，教师再分析讲解，从而顺利建立数学模型来解决实际问题。

第二，数学建模方法是利用数学知识和数学方法解决实际问题的一种脑力劳动，许多学生，特别是农村中学生不具备良好的心里品质，所以缺乏对解决实际问题的信心。针对此建模障碍，数学教学中要重视数学应用意识的培养，注重学生各种数学能力的训练，如数学语言、阅读理解等。具体讲，应做好以下几个方面的教学。

1.让学生体验数学，品尝成功的喜悦，着力培养学生的自信心

在平时的教学中，应加强实际问题的教学，使学生从生活中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。例如，教学储蓄存款利息计算方法时，可以组织学生到银行去实地调查，并向学生提出问题：如何选择储蓄存款的期限定利率，假设向银行存款5000元，试计算3年后可得的利息金额，存款方式分别为：①1年定期，每年到期后本息转存；②先存2年定期，到期后本息转存；③3年定期，整存整取。以上几种存款方式，哪种所得的利息最多？请用所学的数学知识讨论所得结论。这次调查使学生突破了对存款利率、利息计算的心理恐惧，并根据调查数据计算出了存款得息最多的方式，且多数学生能用数学原理去解释和说明。从上面的例子可以看出，在教学中要注意联系身边的事物，为学生创造体验数学的机会，就能增强学生数学建模的信心。

2.培养学生阅读理解能力

通过阅读有助于学生探究能力和自学能力的培养，受自身阅读分析能力、数学基础知识掌握程度以及数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来。例如，马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救，某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处：①求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；②若救助船A、若救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处。根据课堂调查，学生阅读了以上题目后，问其想到了什么数学知识，建立怎样的数学模型来解决问题，许多学生答不出来。我认为原因在于学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍，从而无法将实际问题建立起数学模型，因此，数学教学必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要交给学生科学有效的阅读方法，使学生认识到数学阅读的重要性。

总之，培养学生解决实际问题的能力，就是培养学生的建模能力，对提高学生学习兴趣，培养创新意识具有重要的作用。我们平时在教学中要加以重视，并给予学生正确的引导。