基于MATLAB的多项式的Bergman范数零点分析
2017-06-20丁立娟
丁立娟
【摘要】本文主要工作是在单位复圆盘D上平方可积的函数构成希尔伯特空间,Bergman空间定义为其中解析函数构成的子空间.本文探讨多项式函數的Bergman范数的最值和它的零点在D上的位置分布的关系.通过对帕塞瓦尔定理的直接应用,得出了2-范数的精确结果.对于p-范数给出了部分结果的证明和n=3时对猜测结果的计算机验证.
【关键词】Bergman范数;MATLAB计算;多项式;零点
一、前 言
在工程数学中Bergman范数的求解与分析具有重要的作用,本文主要针对的是多项式的Bergman范数零点,进行理论证明和计算机的验证.
二、理论准备
假定u是A内连续的下调和函数,并且m(r)≤12π∫π-πu(reiθ)dθ.(0≤r<1)
若r1 由以上定理可知12π∫π-π|f(reiθ)|pdθ是r的增函数. Holder不等式: ∫E|f(x)g(x)|dx≤ ∫E|f(x)|p1p· ∫E|f(x)|q1q, 1p+1q=1. Holder不等式的推广: ∫E|∏Nn=1fn|dx≤∏Nn=1 ∫E|fn|pndx1pn,其中∑Nn=11pn=1. 三、理论证明 (一)对2-范数最值问题的证明 设n次多项式f(z)=∑Nn=0anzn,不妨设aN=1,由复系数多项式的因式分解定理知,
≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|(reiθ-rneiθn)|npdθ1nrdr
≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|(reiθ-beiθn)|Npdθ1Nrdr,
由周期函數的性质得
∫10∏Nn=1 ∫2π0|(reiθ-beiθn)|Npdθ1Nrdr
=∫10∏Nn=1 ∫2π0|(reiθ-b)|Npdθ1Nrdr
=∫10∫2π0|(reiθ-b)|Npdθrdr=∫D|(z-b)N|pdA(z).
即对于p-范数,当f的n个零点集中在r=b上某一点上时,多项式函数f的p-范数取得最大值.
五、基于MATLAB对三次多项式的结果进行验证
利用MATLAB编程初步验证了题目中猜测的结果.我就n=3的情况下利用随机数产生一组多项式,并要求多项式在D上有n个零点.通过近似积分计算初步验证了猜想.主程序如下:
a=0.1; %零点模的下界
b=0.9;%零点模的上界
p=1.5;%p值
f=@(r,th)(abs((r.*exp(i.*th)).^3-a.^3)).^p.*r;%表示p(z)=zn-an
vmin=integral2(f,0,1,0,2*pi)
%p(z)=zn-an的p-范数
g=@(r,th)(abs((r.*exp(i.*th)-0.9).^3)).^p.*r;%表示p(z)=(z-b)n
vmax=integral2(g,0,1,0,2*pi)
%p(z)=(z-b)n的p-范数
k=0;
for j=1:100
R=unifrnd(0.1,0.9,3,1);TH=rand(3,1)*2*pi;
h=@(r,th)(abs((r.*exp(i.*th)-R(1)*exp(i *TH(1))).*(r.*exp(i.*th)-R(2)*exp(i*TH(2))).
*(r.*exp(i.*th)-R(3)*exp(i*TH(3))))).^p.*r;
v=integral2(h,0,1,0,2*pi);
if v>=vmin&&v<=vmax
k=k+1;
end
End %计算随机产生的满足条件的100个多项式
%并比较其范数
k/100%求出介于两数值之间的百分比
运行结果为100%,表示随机产生的100个多项式的p-范数都介于两者之间,可以验证对于1 000个多项式计算也成立.
由于多项式是随机产生的,所以初步可以验证猜测的准确性.由于希尔伯特空间具有很好的几何性质,所以在2-范数情况下存在精确的解析结果,即由帕塞瓦尔定理推导出的积分公式.但是对于一般的Lp空间,不具有希尔伯特空间的特点,所以没有得到精确表达式.但是可以利用下调和函数的性质证明猜测.根据对p=2时结果加以归纳,可以猜测出当f的零点在r=a上均匀分布时(这里说的均匀分布是指相邻的两个零点之间,幅角的差是定值2πn)f的p-范数取得最小值;当f的n个零点集中在r=b上任意一点上时,多项式函数f的p-范数取得最大值.本文中已经给出了取得最大值情况的证明,对于最小值的情况,给出了n=3时三次多项式的计算机验证,验证的结果也说明了猜测的正确性.
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