矩阵的非常规转置

孙丹

【摘要】本文從矩阵的常规转置（主转置），延拓到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置）.经过深入探讨，给出了它们的妙趣横生的颇有意义的一系列结论，并予以技巧各异的论证，其中以行转置和列转置二者的关系最为奇妙.此后又由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及其相关结论.

【关键词】次转置；行转置；列转置；次对称阵；反次对称阵

一、引 言

矩阵的转置（常规转置或主转置）是矩阵论的重要组成部分.笔者联想到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置），给出它们的定义，并经过长期深入的研究与探讨，给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论.对其中显而易见者，我们免去其证明；有些我们则以例代证，以方便读者；对行、列均有的成套结论，我们仅对行证，因为对列同理；对多数结论，我们不惜篇幅，均予以技巧各异的论证.最后由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.

二、预备知识

为方便比较与研究，我们不妨先给出如下的定义：

（一）设矩阵A=（ai j）m n，把A的行变为列所得到的阵AT=（aj i）n m叫作矩阵A的转置（常规转置或主转置）.

（注：“T”为“Transposed”的第一个字母）

（二）设矩阵A=（ai j）m n，以其次对角线为轴，左上和右下的元素对应互换所得到的阵AS=（an-j+1 m-i+1）n m叫作矩阵A的次转置.

（注：“S”为“Sub-transposed”的第一个字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AS=042-21040-1-6-23 .

（三）设矩阵A=（ai j）m n，以其中间行或中间两行的“空”为轴，上下等距离的行对应互换所得到的阵AH=（am-i+1 j）m n叫作矩阵A的行转置.

（注：“H”为“Horizontal transposed”的第一个字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AH=-64-20-20143-102，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

BH=20-16-4350-2101-343-1321-2 .

（四）设矩阵A=（ai j）m n，以其中间列或中间两列的“空”为轴，上下等距离的列对应互换所得到的阵AV=（ai n-j+1）m n叫作矩阵A的列转置.

（注：“V”为“Vertical transposed”的第一个字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AV=20-13410-20-24-6，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

BV=-2123-134-3101-2053-46-102 .

矩阵的常规转置（主转置）的诸多结论读者是知晓的，这里无须一一列出.

三、若干结论

下面给出矩阵的次转置、行转置、列转置的相关结论.下文所涉及的矩阵，有时是长方阵，有时是方阵，这对读者是不说自明的.

（一）次转置

1.（AS）S=A.

2.（aA）S=aAS.

3.（A+B）S=AS+BS.

4.r（AS）=r（A）.（r（A）表示阵A的秩）

5.r（AAS）=r（ASA）=r（A）.

6.（AB）S=BSAS.

（注：3，6可推广到有限多个）

例1 已知A=3-102-2014-64-20，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

则有

（AB）S=22-11-17142011-24-87-24-180131，

BSAS=22-11-17142011-24-87-24-180131=（AB）S.

7.|AS|=|A|.

例2 已知C=143254432，则有|C|=-35，

|CS|=243354421=-35=|C|.

8.（AS）*=（A*）S.

证明 令A=（ai j）n n，则AS=（an-j+1 n-i+1）n n，

（AS）*=（-1）1+1an-1 n-1…a1 n-1

………

an-1 1…a1 1…

（-1）n+1an-1 n…a1 n

………

an-1 2…a1 2

………

（-1）1+nan n-1…a2 n-1

………

an 1…a2 1…

（-1）n+nan n…a2 n

………

an 2…a2 2

=（-1）n+na1 1…a1 n-1

………

an-1 1…an-1 n-1…

（-1）1+na1 2…a1 n

………

an-1 2…an-1 n

………

（-1）n+1a2 1…a2 n-1

………

an 1…an n-1…

（-1）1+1a2 2…a2 n

………

an 2…an n

=An n…An 1

………

A1 n…A1 1=（A*）S.

9.若A可逆，则AS也可逆，且（AS）-1=（A-1）S.

证明 由A可逆，则|A|≠0，进而|AS|≠0，于是AS可逆.

则（AS）-1=（AS）*|AS|=（A*）S|A|=（A-1）S，

所以AS也可逆，且（AS）-1=（A-1）S.

10.若A可逆，a≠0，则aAS也可逆，且（aAS）-1=a-1（A-1）S.

证明 由A可逆，则AS也可逆，进而|AS|≠0，则|aAS|≠0，

于是aAS也可逆.

则（aAS）[a-1（AS）-1]=aa-1[AS（AS）-1]=AS（A-1）S=（A-1A）S=E，

所以aAS也可逆，且（aAS）-1=a-1（A-1）S.

11.|（AS）-1|=|AS|-1（A为可逆阵）.

证明 由A可逆，则|A|≠0，AS可逆，且|AS||（AS）-1|=E.

于是|AS（AS）-1|=|E|=1.

由|AS|=|A|，且|A|≠0，

所以|（AS）-1|=|AS|-1.

12.如果A与B均为n阶可逆阵，则ASBS也可逆，且（ASBS）-1=（BS）-1（AS）-1.

证明 由A，B均可逆，则AS，BS也可逆.

又由|ASBS|=|（BA）S|=|AB|≠0，

知ASBS可逆，则

（ASBS）[（BS）-1（AS）-1]=AS[BS（BS）-1]（AS）-1=（A-1A）S=E，

所以ASBS也可逆，且（ASBS）-1=（BS）-1（AS）-1.

13.若n阶方阵A与B可交换，A可逆，则（AS）-1与BS可交换.

证明 由AB=BA，知AA-1B=BAA-1=ABA-1，

两边取次转置，得BS（A-1）SAS=（A-1）SBSAS，

右乘（AS）-1，得BS（A-1）S=（A-1）SBS，

即BS（AS）-1=（AS）-1BS，所以（AS）-1与BS可交换.

14.若n阶方阵A与B相似，则AS与BS也相似.

证明 由A与B相似，知存在n阶可逆阵Q，使B=Q-1AQ，两边取次转置，得

BS=（Q-1AQ）S=QSAS（Q-1）S=[（QS）-1]AS（QS）-1，

所以AS与BS也相似.

15.若λ是n阶方阵A的特征值，则λ也是AS的特征值.

证明 由|（λE-A）S|=|λE-AS|及|（λE-A）S|=|λE-A|，

则|λE-AS|=|λE-A|，

即AS与A有相同的特征值，所以λ也是AS的特征值.

（二）行转置和列转置

1.（AH）H=A，（AV）V=A.

2.（aA）H=aAH，（aA）V=aAV.

3.（A+B）H=AH+BH，（A+B）V=AH+BV.

4.r（AH）=r（AV）=r（A）.

5.（AB）H=AHB，（AB）V=ABV.

（注：3，5可推广到有限多个）

例3 已知

A=3-102-2014-64-20，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

则有BHAH无意义，

AHB=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17=

（AB）H=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17 .

仅有

AHB=01812-5222

-8137-43

11122-17≠

（AB）H=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17 .

对一般情况，我们证明如下

令A=（ai j）m p，B=（bi j）p n，

则（AB）H=（∑pk=1am-i+1 kbk j）m n，

AHB=（am-i+1 j）m p（bi j）p n=（∑pk=1am-i+1 kbk j）m n，

所以（AB）H=AHB.

6.|AH|=|AV|=（-1）n2|A|（其中n2是的Gauss函数值）.

证明 若n为奇数，则交换A的第1行与第n列，交换A的第2行与第n-1列，…，交換A的第n-12行与第n-32列，便得到AH，即对A进行了n-12次行对换后，A变为AH，此时n-12=n2.

所以|AH|=（-1）n2|A|.

若A为偶数，则n2是整数，此时对A进行了n2次行对换可得到AH，且n2=n2.

所以|AH|=（-1）n2|A|.

总之|AH|=（-1）n2|A|.

例如，C=143254432，

8.若A可逆，则AH可逆，AV可逆，且有（AH）-1=（A-1）V，（AV）-1=（A-1）H（A为可逆阵）.

证明 结论的前者是不证自明的，

（AH）-1=（AH）*|AH|=[（-1）2n（A*）V][（-1）n2|A|]

=A*|A|V=（A-1）V，

所以AH可逆，AV可逆，且有（AH）-1=（A-1）V，（AV）-1=（A-1）H.

行家们都知道，特殊矩阵是矩阵论的重要组成部分.下面类似对称阵与反对称阵，我们给出次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.

（三）次对称阵与反次对称阵

1.A=（ai j）n n叫作次对称阵，假若（ai j）n n=（an-j+1 n-i+1）n n.

例5

D=3-57

1247-5

4123 就是一个3阶次对称阵.

2.A=（ai j）n n叫作反次对称阵，假若（ai j）n n=（-an-j+1 n-i+1）n n.

（注：显然有ai n-i+1=0.）

例6

F=3-50

-1205

412-3

就是一个3阶反次对称阵.

说明：令Ei j意义如常，

则gi j=1i=n-j+10i≠n-j+1.

3.次对称阵

（1）对n阶阵A，下列诸条件是等价的：

① A是次对称阵；

② AJ是对称阵；

③ JA是对称阵；

④ A=JATJ.

（2）若A为次对称阵，则AT及A*亦然.

（3）若A为n阶对称阵，且A可逆，则A-1也是次对称阵.

（4）A，B均是次对称阵，则AB是次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

4.反次对称阵

（1）对n阶阵A，下列诸条件是等价的：

① A是反次对称阵；

② AJ是反对称阵；

③ JA是反对称阵；

④ A=-JATJ.

（2）若A为反次对称阵，则AT亦然.

（3）奇数阶反次对称阵A的伴随矩阵A*是次对称阵，偶数阶反次对称阵A的伴随矩阵A*是反次对称阵.

5.二者间的关系

（1）若A，B均是次对称阵，则AB-BA是反次对称阵.

（2）若A，B均是反次对称阵，则AB是次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

（3）若A，B中的一个是次对称阵，另一个是反次对称阵，则AB是反次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

我们知道，任一个方阵A都可唯一地表示为一个对称阵与一个反对称阵之和，类似地，我们有：

（4）任一个方阵A都可唯一地表示为一个次对称阵与一个反次对称阵之和.

（即A=A+AS2+A-AS2）

四、结 论

本文，我们从矩阵的常规转置（主转置）延拓到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置）.经过笔者长期深入的研究与探讨，给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论.如，（AS）*=（A*）S，（aAS）-1=a-1（A-1）S，（AB）H=AHB，（AB）V=ABV， |AH|=|AV|=（-1）n2|A|，（AH）*=（-1）n2（A*）V，（AV）*=（-1）n2（A*）H，等等.它们有些是与主转置对应的，有些甚至是平行的，而行、列转置的很多结论中，有些是“对称”的，如此的关联，真可谓巧哉妙也.此后又由常规的对称阵和反对称阵，我们又给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.若读者有兴趣致力于这方面的研究，可進一步寻求其他结论.

另外，我们还可以引申出次正定阵、次对称次正定阵、亚次正定阵等.它们已超出本文的既定宗旨，我们也把它们略去.对文中诸如此类问题，若有机会，笔者将再撰文奉献给尊敬的读者.

矩阵论是数学领域中的一座宝山，本文只窥到这座宝山的极小部分，还有更多的“宝藏”，有待于勤奋的人们来“勘探”、去“开采”.希望本文能对读者研究矩阵论起到抛砖引玉的作用，这也是笔者写作的目的之一吧！

【参考文献】

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