由教材中的拓广探索题引发的变式训练的思考

徐志旋

教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视.在人教版八年级数学下册第92页中，有一道拓广探索题，通过对这道题的解答和证明过程，值得我们进一步思考和探讨.

问题 如图1，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，拨动细木条，使它随意停留在任意位置，观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现.

分析 在木条的运动过程中，虽然木条位置在改变，但是有不变的量，OA=OC，∠DAC=∠BCA，∠AOE=∠COF，可证明△AOE≌△COF，同样可证明△DOE≌△BOF，故可以得到线段OE=OF.这三个结果都不会随木条位置的改变而改变.

如果这道题就此结束的话，达不到拓广探索的目的.教师应该在课堂教学中发掘教材，激活学生的数学思维.对于这道题，可以充分地进行拓广.

拓广一 如图2，连接BE，DF.请猜想四边形BEDF是什么四边形，并给出证明.

分析 可以先猜测四边形BEDF是平行四边形，结合上题的结果可知：OE=OF，OB=OD.故得到证明.

拓广二 如图3，题目的所有条件不变，只是把图形进行了改变，可对学生提出问题，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，线段OE=OF这些结论还成立吗？为什么？连接BF，DE，四边形BEDF还是平行四边形吗？

拓广三 题目的所有条件仍然不变，图形进一步进行改变，如图4、图5所示.

可继续给学生提出问题，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，OE=OF，四边形BEDF是平行四边形这几个结论还成立不成立？

这样，通过教师一步一步地拓广，学生的思维能力得到提高.其实这几个题目的变形，只是题目的图形发生了改变，学生不仔细分析就不知道如何入手，如果教师能在平时的教学中坚持经常性地使用类似这样的变式训练，学生对这种类题接触多了，以后再遇到这类题就迎刃而解了.

接着我们来看新人教版八年级数学下册第122页的习题，继续来探索拓广与证明的方法.

问题 如图6，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明 新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开——复习巩固、综合运用、拓广探索，循序渐进、由浅入深.“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力.为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示.

证明 取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°.

∵点G、点E分别是AB，BC的中点，

∴AG=BG=BE=CE，

∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°.

∵CF是正方形外角的平分线，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.

∵∠AEF=90°，∠B=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∠GAE+∠BEA=90°，

∴∠GAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF（AAS），

∴AE=EF.

拓廣一 此题E点是边BC中点，是一个特殊的点，这时，可以给学生提出问题，假如E点改为一个普通的点，且可以在边BC上运动.如图7，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

分析 由特殊到一般，化静为动.证明方法可以借鉴原题中的提示，可以在AB上截取BG=BE，连接GE.

图8

拓广二 如图8，若E是线段BC延长线上的一点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

分析 本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强.至于证明方法可在前面的基础上让学生自己思考、自己证明.

图9

拓广三 如图9，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.AE=EF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

分析 当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强.教师可以适当地引导学生，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，写出证明过程.

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等.而辅助线的作法又是那么相似，例如，拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上截取BG=BE.通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果.

在素质教育的今天，考试更重视考查学生的素质，教师必须多钻研新课程标准，多研究教材，吃透教材，灵活应用教材.《初中数学课程标准》中指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验.”由此可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标.如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维.

教材中的例题、习题都是较好的教学资源.教师在平时的教学中要针对一些例题、习题，尤其是拓广探索题，进行挖掘、进行变式练习，这些都可以成为或已经成为综合性较好的中考试题.