正弦定理、 余弦定理的变换应用

丁志超

【摘要】正弦与余弦同为高中几何中的重要定理，其所反映的内容均为三角形中边与角之间的关系.通过对它们进行整合、变形后再运用，能够找到众多问题解决的“根源”.

【关键词】正弦；余弦；数学定理；变换应用

高中几何中的正、余弦定理，两者同为反映三角形边角关系的重要定理，针对正、余弦定理的直接运用，通常可解决两类问题：一是在已知三角形三边的情况下，求三个内角的相关问题；二是在已知三角形两边与一夹角的情况，求第三边的问题.就高中数学而言，针对正、余弦定理的运用远不止如此，若能从不同角度观察并分析其表达式，并将其进行整合、变形后再应用，不仅能有效拓展该部分知识的运用范围，且在求解部分题目时，往往能收获意想不到的效果.

一、解三角形

例1 在△ABC中，a=23，b=6，A=30°，则边c=.

解法一 由正弦定理可得sinB=bsinAa=32，又0

当B=60°时，C=90°，c=bsinCsinB=43；而当B=120°时，C=30°，c=23.

解法二 由余弦定理可得，cosA=b2+c2-a22bc，即c2-63c+24=0，解得c=23或43.

点评 已知两边及其中一边的对角，解三角形时，需考虑解的个数.

二、证明三角形中的恒等式

例2 在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

证明 a2sin2B+b2sin2A=（2RsinA）2·2sinBcosB+（2RsinB）2·2sinAcosA=8R2sinAsinB（sinAcosB+cosAsinB）=8R2sinAsinBsinC=2·2RsinA·2Rsinb·sinC=2absinC，所以原式得证.

点评 此题所证结论为△ABC的一种边角关系，证明考虑两种途径：一是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理的公式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；二是把角的关系转化为边的关系，若是正弦形式，则利用正弦定理，若是余弦形式，则利用余弦定理.

三、解决实际问题

例3 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角為45°，距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 km/h的速度向某小岛靠拢，于是我海军舰艇立即以21 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所用时间.

解析 如上图，设舰艇与渔船在B处相遇，设舰艇从A处靠近渔船所用时间为x h.

AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=∠1+∠2=45°+（180°-105°）=120°，

根据余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°，得（21x）2=102+（9x）2-2×10×9xcos120°，

解得x1=23，x2=-512（舍去）.

所以AB=21x=14，BC=9x=6.

BCsin∠CAB=ABsin120°，得∠CAB≈21.8°，所以航行方位角为45°+21.8°=66.8°.

点评 解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向线顺时针旋转到目标方向线的角，其范围是[0°，360°）.

四、判断三角形形状

例4 在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，判断△ABC的形状.

解法一 由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA=sin2Asin2B，即cosBcosA=sinAsinB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=180°-2B，即A=B或A+B=90°，因此，△ABC为等腰或直角三角形.

解法二 由题设，有sinAcosBcosAsinB=a2b2，得a2R·a2+c2-b22acb2+c2-a22bc·b2R=a2b2，化简得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC为等腰或直角三角形.

点评 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式.

总之，正、余弦定理不仅仅是在阐述三角形三边与角之间的关系，更是解决三角形相关问题的重要途径.此外，三角形正、余弦定理的运用，除了要根据题目类型进行灵活的转换，还需对公式变形有相当程度的了解，如此才能将其灵活运用.