函数单调性的应用

陈威

【摘 要】函数的单调性是函数的一条重要性质，本文主要讨论了函数的单调性在中学数学解题中的应用。

【关键词】函数；单调性；判断方法

函数的单调性是函数的重要性质之一，是今后研究具体函数单调性的理论基础，在比较大小、解决函数图象、值域、最值以及证券市场分析、财务管理等专业课中均有广泛应用。通过对函数单调性的研究可以让大家对知识结构不断充实、完善的过程，而且可进一步加深对函数本质的认识，起到承上启下的作用。

单调性在中学数学解题中的应用：

单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，主要用于如下几个方面：

一、比较两个数的大小

例1：比较log2（x+1）和log2（2x+3）的大小

分析：从题设的两个对数，便联想起y=log2u在（0，+∞）上是单调增函数，因此，只要比较两个真数的大小，原题就可获解

解 ，解得x>-1当x>-1时，有0

二、证明不等式

在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷。

例2：（福建） 已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围（ ）

A（-1，1） B （0，1）

C （-1，0）∪（0，1） D （-∞，1）∪（1，∞）

解析：借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.

三、求参数的取值范围

例3：已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时，求t的取值范围。

分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得

根据f（x）是减函数脱去f，然后由式子特征构造相应单调函数。

解 <

设x=sinθ，0

x2-3tx<-1 解得 t>

四、利用函数单调性求函数的值域或最值

例4：若，求函数的值域。

解析 设，则

=

∵，

∴f（x1）-f（x2）<0即f（x1）

∴

f（x）值域为

综上所述，用函数单词性解题的关键是通过观察、分析、联想，构造一个适当的函数，若构造的这个函数的单调性不明显，则需证明它具有单调性，然后根据函数的单调性去求解或证明。