函数单调性的应用
2017-06-19陈威
陈威
【摘 要】函数的单调性是函数的一条重要性质,本文主要讨论了函数的单调性在中学数学解题中的应用。
【关键词】函数;单调性;判断方法
函数的单调性是函数的重要性质之一,是今后研究具体函数单调性的理论基础,在比较大小、解决函数图象、值域、最值以及证券市场分析、财务管理等专业课中均有广泛应用。通过对函数单调性的研究可以让大家对知识结构不断充实、完善的过程,而且可进一步加深对函数本质的认识,起到承上启下的作用。
单调性在中学数学解题中的应用:
单调性是函数的一个基本性质,该性质有广泛的应用,主要用于如下几个方面:
一、比较两个数的大小
例1:比较log2(x+1)和log2(2x+3)的大小
分析:从题设的两个对数,便联想起y=log2u在(0,+∞)上是单调增函数,因此,只要比较两个真数的大小,原题就可获解
解 ,解得x>-1当x>-1时,有0 二、证明不等式 在证明不等式中,通过联想构造函数,将常量作为变量的瞬时状态,置于构造函数的单调区间内,利用其单调性证明一些不等式,十分便捷。 例2:(福建) 已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围( ) A(-1,1) B (0,1) C (-1,0)∪(0,1) D (-∞,1)∪(1,∞) 解析:借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C. 三、求参数的取值范围 例3:已知f(x)是奇函数,在实数集R上又是单调递减函数,且时,求t的取值范围。 分析:因已知函数f(x)是奇函数将已知不等式移项后可得 根据f(x)是减函数脱去f,然后由式子特征构造相应单调函数。 解 < 设x=sinθ,0 x2-3tx<-1 解得 t> 四、利用函数单调性求函数的值域或最值 例4:若,求函数的值域。 解析 设,则 = ∵, ∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1) ∴ f(x)值域为 综上所述,用函数单词性解题的关键是通过观察、分析、联想,构造一个适当的函数,若构造的这个函数的单调性不明显,则需证明它具有单调性,然后根据函数的单调性去求解或证明。