时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解

赖晓霞，姚若侠

(陕西师范大学 计算机科学学院，西安710119)



【自然科学基础理论研究】

时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解

赖晓霞，姚若侠

(陕西师范大学 计算机科学学院，西安710119)

借助Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数和分数阶复变换，利用一个二阶非线性常微分方程的解，基于(G′/G)-展开法，对时空分数阶Cahn-Hilliard方程进行研究，由此构造了该方程的若干双曲函数、三角函数和有理函数等不同形式的精确解，丰富了其精确解解系。此外，当其中的参数被赋予某些特殊值时，这些已获得的精确解则成为孤立波解、周期波解和行波解。结果表明，(G′/G)-展开法直接、简洁、高效，且具有一定的普适性，为数学物理领域其他非线性偏微分方程的求解提供了一种强有力的工具。

Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数;(G′/G)-展开法；分数阶复变换；时空分数阶Cahn-Hilliard方程；精确解

0 引言

分数阶微分方程被视为非线性微分方程的替代模型，作为有效的数学建模工具之一，在对物理学、生物学、信号处理、控制理论、系统识别等科学领域的非线性现象进行数学建模的过程中发挥了重要作用。[1-3]此外，分数阶微分方程还被用于社会科学领域，如气候、金融和经济学[4]，是研究的热点内容之一。越来越多的研究者致力于寻找分数阶微分方程的解析解或精确解，并提出了一些有效的求解方法，如分数阶Adomian分解法[5]、变分迭代法[6]、有限差分法[7]、首次积分法[8]、分数阶子方程法[9-11]、指数函数法[12-13]、(G′/G)-展开法[14-15]等。

Li和He[16-17]提出了一个分数阶复变换，可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程，使求解过程变得简单。最近，分数阶复变换已经被用于处理具有修正Riemann-Liouville导数[18]的分数阶微分方程向整数阶微分方程的转换，转化后的方程可以通过符号计算系统Maple来求解。本文将分数阶复变换与(G′/G)-展开法[19]相结合，得到了如下时空分数阶Cahn-Hilliard方程[4,20]新的精确解

(1)

其中:u=u(x,t)，η为任意非0常数。

1 分数阶微积分定义

分数阶微积分研究提出了许多种定义，目前最常使用的3种是：Caputo定义、Grünwald-Letnikov定义[21-22]和Riemann-Liouville定义。

定义1(Caputo分数阶导数定义[21]) 对于正实数α,令n-1<α≤n，函数f(x)为定义在区间[a,b]上的可积函数,则f(x)的α阶Caputo分数阶导数为

(2)

其中:Γ(x-α)是伽玛函数,其广义定义为

(3)

且满足Γ(x+1)=xΓ(x),则当n∈N时，有Γ(n)=(n-1)！。

定义2(Riemann-Liouville分数阶导数定义[21-22]) 对于正实数α和a，令n-1≤α

(4)

Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数为[18,23-24]

(5)

且具有如下性质[24]

(6)

Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数具有Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数二者的优点，可成功应用于分数阶拉普拉斯问题[25]、概率演算[26]、多变量的分数阶变分法[27]、分数阶变分迭代方法[28]和自然边界条件的分数阶变分法[29]等。

2 (G′/G)-展开法概述

给定时空分数阶偏微分方程

(7)

步骤1：文献[16]中，Li和He提到的一个分数阶复变换可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程。

该分数阶复变换为：

(8)

其中:K,L为任意非0常数，当α=β=1时，ξ=Kx+Lt为行波变换。

将(8)式代入(7)式可得如下常微分方程

Q(U,U′,U",U＂′,…)=0,

(9)

其中:U′=dU/dξ,U"=d2U/dξ2,U＂′=d3U/dξ3,…,Q是含U及U对ξ各阶导数的多项式。

步骤2：设常微分方程(9)的解可表示为关于(G′/G)的多项式

(10)

其中：G=G(ξ)满足如下二阶非线性常微分方程

G＂G=λG′2+μGG′+ωG2。

(11)

这里a-n,…,an,λ,μ,ω均为待定常数。

直接求解方程(11)可得以下3种形式的解

(12)

其中:C1,C2为任意常数。

步骤3：(10)式中的正整数n是由(9)式中线性最高阶导数项和非线性项通过齐次平衡原理[30]来确定的。此处假设U(ξ)的阶数为Deg[U(ξ)]=n，则其他表达式的阶数为

(13)

由此即可确定(10)式中n的值。

步骤4：将(10)式代入(9)式，运用关于(G′/G)的二阶常微分方程(11)来合并(G′/G)的相同幂次项，并令(G′/G)的各次幂的系数为0,得到一个关于未知数a-n,…,an,K,L,λ,μ,ω的非线性代数方程组。

步骤5：求解上述代数方程组，将所得结果代入(10)式，并利用(11)式在不同情况下的通解，即可获得方程(7)的多个不同类型的精确解。

3 时空分数阶Cahn-Hilliard方程的精确解

结合Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数，对方程(1)作分数阶复变换(8)，可得如下常微分方程

LU′-ηKU′-6K2U(U′)2-3K2U2U"+K2U"+K4U""=0,

(14)

其中:′=d/dξ,η,K,L是任意非0常数。

对(14)式关于行波变量ξ积分一次，取积分常数为0得

LU-ηKU-3K2U2U′+K2U′+K4U＂′=0。

(15)

对方程(15)应用齐次平衡原理，即平衡线性最高阶导数项U3U′和非线性项U2U′,有3n+1=n+3，从而n=1。将n=1代入(10)式，可知方程(1)的解具有如下形式

(16)

将(16)式代入常微分方程(15)可得关于(G′/G)的各阶幂次项，合并(G′/G)相同的幂次项，并令各次幂项的系数为0,得到如下非线性代数方程组

(17)

利用符号计算系统Maple求解方程组(17)，获得3组解：

第一组解：

其中:λ≠1，μ，ω，η为任意非0常数。

将(18)式代入(16)式可得

(19)

将(12)式代入(19)式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1)不同形式的精确解。

情形1-1 当μ2-4(λ-1)ω>0，λ≠1时，可得双曲函数解

(20)

对于(20)式，考虑以下两种特殊情况，可得其如下形式的孤立波解。

情形1-1-1 当C1≠0,C2=0时，孤立波解为

(21)

情形1-1-2 当C1=0,C2≠0时，孤立波解为

(22)

情形1-2 当μ2-4(λ-1)ω<0,λ≠1时，可得三角函数解

(24)

(25)

第二组解：

(26)

其中:λ≠1,μ,ω,η为任意非0常数。

将(26)式代入(16)式可得

(27)

将(12)式代入(27)式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1)如下不同形式的精确解。

情形2-1 当μ2-4(λ-1)ω>0,λ≠1时，可得双曲函数解

(28)

对于(28)式，考虑以下两种特殊情况，便可获得其如下形式的孤立波解。

情形2-1-1 当C1≠0，C2=0时，孤立波解为

(29)

情形2-1-2 当C1=0，C2≠0时，孤立波解为

(30)

情形2-2 当μ2-4(λ-1)ω<0,λ≠1时，可得三角函数解

(31)

第三组解：

(32)

其中：λ≠1,μ,ω,η为任意非0常数。

将(32)式代入(16)式可得

(33)

将(12)式代入(33)式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1)不同形式的精确解。

情形3-1 当μ2-4(λ-1)ω>0,λ≠1时，可得双曲函数解

(34)

对于(34)式，考虑以下两种特殊情况，便可获得其如下形式的孤立波解。

情形3-1-1 当C1≠0，C2=0时，孤立波解为

(35)

情形3-1-2 当C1=0，C2≠0时，孤立波解为

(36)

情形3-2 当μ2-4(λ-1)ω<0,λ≠1时，可得三角函数解

图7 时空分数阶Cahn-Hilliard方程精确解(37)的三维图

4 结语

本文利用分数阶复变换和Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数，结合齐次平衡原理，通过(G′/G)-展开法研究了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的精确解，获得了该方程含有多参数的新双曲函数、三角函数和有理函数等不同形式的精确解，且当双曲函数解中部分参数取特殊值时即可获得其孤立波解，从而丰富了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的解系，并给出了其中孤立波解、周期波解和行波解的三维图。

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【责任编辑 牛怀岗】

New Exact Solutions of the Space-Time-Fractional Cahn-Hilliard Equation

LAI Xiao-xia, YAO Ruo-xia
(School of Computer Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710119, China)

With the aid of the Jumarie’s modified Riemann-Liouville fractional derivative and the fractional complex transformation, utilizing the solution of a second order ordinary differential equation and based on the(G'/G)expansion method, the space-time fractional Cahn-Hilliard equation is investigated, whence several hyperbolic function, trigonometric function and rational function exact solutions are obtained that enriches the exact solution family of it. Furthermore, when the parameters are taken as certain special values, solitary wave solutions, periodic wave solutions and traveling wave solutions can be derived from these obtained solutions. It is shown that the (G'/G)expansion method is direct, concise and effective, and has a certain degree of university, as well as presenting a powerful tool for handling other nonlinear partial differential equations in mathematical physics.

Jumarie’s modified Riemann-Liouville derivative;(G'/G)expansion method; fractional complex transformation; space-time fractional Cahn-Hilliard equation; exact solution

2017-03-30

国家自然科学基金项目：等价活动标架理论及其在微分方程和计算机视觉与模式识别中的应用研究(11471004)

赖晓霞(1992—)，女，江西赣州人，陕西师范大学计算机科学学院硕士研究生;姚若侠(1968—)，女，陕西大荔人，陕西师范大学计算机科学学院教授，博士生导师，主要从事计算复杂性与符号计算、机器证明、模式识别、孤子理论研究。

O175.29

A

1009-5128(2017)12-0010-11