理解概念的关系把握真实的意义——带余除法学习难点的突破

◇姜荣富

理解概念的关系把握真实的意义
——带余除法学习难点的突破

◇姜荣富

如何理解带余除法的数学意义？为什么计算时余数要比除数小？讨论这些问题需要整体地把握数学知识的内在联系，通过模型建构理解其数学意义。

一 理解带余与同余概念的关系

小学数学教学中，带余除法常常被用于解决周期性问题，如一批彩灯按“红、黄、蓝、绿、白、红、黄、蓝、绿、白、红……”的规律排列起来，第23盏彩灯是什么颜色？算式是23÷5=4（组）……3（盏），含义是以5为周期（5个为一组），用它去除23，得到4个周期（4组）还余下3盏。在这里，商并不重要，只要关注余数就可以了，根据余数是3，可以判断第 23盏彩灯的颜色为蓝色。还有第几盏灯也是蓝色的呢？运用周期变化的规律，把23减去或加上若干个5，如第18盏、第13盏、第28盏、第33盏等彩灯的颜色都是一样的。在数学意义上，这些数除以5的余数是相同的，就称它们是“模5同余”。

对于同余的概念，有一个很能说明问题的几何解释。如图1，把一个圆分成5等份，得到5个点。任一整数被5除时，得到的余数是0、1、2、3、4中的一个，在几何上用圆上这些点中的一个来表示。如果两个数用同一个点表示，它们就是同余的。

图1

在小学数学里并不直接教学同余的概念，但这个概念在用带余除法解决周期性的问题中有渗透。了解同余的概念，对于深入地理解带余除法的意义，突破教学中发现 “余数要比除数小”的难点有帮助。

二 把握规律与规定真实的意义

在小学数学教学中，学生学习带余除法往往先从分东西的活动开始，从而引出余数的概念，在初步建立了带余除法的意义之后，通过圈点子或其他操作活动，得到一组带余除法的例子，通过观察这些例子归纳“余数要比除数小”的结论。

通过分析发现，教师给学生提供的观察与归纳的例子，可以分成三种类型：除数相同被除数变化，被除数相同除数变化，被除数和除数同时变化。不同类型的例子讨论的问题都是一样的：观察这些算式，你发现了什么？无论是哪一种类型的例子，学生归纳出“余数要比除数小”的结论都很困难，为什么呢？因为一组算式中变化的因子太多，学生不容易把思考聚焦到余数与除数的大小关系上。

在探究 “余数要比除数小”的规律时，应让学生先发现余数呈现周期性的变化，借助几何直观，推理同余的数，让学生在解决问题的情境中，把握变化的规律，理解规定的意义。

师：请同学们观察这个圆盘（如图 1，上面不标数字），说一说你知道了什么。

生：上面有5个圆点。

生：有5个间隔。

师：一个间隔可以叫作1格。现在我把其中1个点作为起点，标上0，下一个点就是1，这5个点表示5个位子。现在我们玩一个“找位子”的数学游戏。规则是：报出一个自己喜欢的数，然后从0开始，是几就走几个间隔，走完以后在位子上 “坐”下来。同桌两人一人报数另一人走。报数的同学要帮助检查对方坐的位子对不对。

师：我请一位同学跟我搭档先来玩一玩。我报8，请你帮我走。

（学生1格1格地数，从0开始数到5时，教师喊暂停）

师：走了 1圈，歇会儿。（学生歇后）好，继续前进。

（学生走到3停下来）

师：位子找到了！我们就在这个位子上记上8。好，就像刚才一样，从0开始，走1圈就歇会儿。你报的数在哪个位子上，就在哪个位子上把这个数记下来。

（展示两个同学在圆盘上记录的数，如图2）

图2

师：看这组同学记录的数，你们有什么问题吗？

生：0号位子上为什么没有其他数？

师：如果要占到0号位子，必须报什么数？

生：5、10、15。

生：这些数是有规律的，都相差5。

生：其他位子上的数也是这个规律，都相差5。

师：是吗？我们再看看。1号位子上，1与6相差5。2号位子上，2与12相差——

生：相差10，就是两个5。就是转了2圈。

师：还有问题吗？

生：我觉得 14不应该在 2号位子上。

师：你是怎么想的？

生：按照刚才的规律，在同一个位子上的数都相差5，14与12相差 2，17在这个位子上是对的。

师：想个办法帮14找到正确的位子。

生：12在2号位子上，14就是再走2格，所以14在4号位子上。

生：我用算式表示：14÷5= 2……4。

师：这个式子是什么意思？

生：14除以 5，表示走 14格，转1圈是5格，转完2圈之后，还余下4格。所以14就在4号位子上。

师：现在它们都准确地找到位子了。我们研究2号位子上的数，像前面那样用带余除法表示出来。如下：

2÷5=0……2；

7÷5=1……2；

17÷5=3……2。

师：选择一个算式，说一说它的意思。

师：观察这些算式，你们有什么话想说的？

生：按规律，中间还缺一个12÷5。

师：好，补上一个，商是多少？余数是多少？

生：商是2，余数也是2。

师：你是怎么想的？

生：你们看，被除数相差5，除数都是5，商是 0、1、2、3这样慢慢大起来的，余数都是2。

生：就是从0开始，转2圈到10，余下2格，所以余数是2。

师：现在我们知道，2、7、12、17这些数“都是一家的”。在 0~40的数线上还有很多数，你能圈出这一家的其他成员吗？

生：22、27、32、37。

师：有规律？有什么规律？

生：是有规律的，每隔 5个数，就会出现余数相同的。

生：被除数每增加 5，就是多转了1圈，这样就回到原来的位子上了。

师：用三角形符号在数线上画出3号位子上的数。

（学生画出3、8、13、18、23、28、33、38）

师：3号位子上的这些数，除以5，有什么特点？

生：余数都是3。

“找位子”的游戏，不仅有利于学生理解带余除法的意义，而且可以把余数比除数大直观地解释为还能再转1圈。在数线上找出同余的数，实际上是运用规律推理同余的数。

师：我们再玩一次“抢位子”的游戏，规则是我报一个数，请你很快地说出它在哪个位子上。

师：5。

生：0号位子。

师：你是怎么想的？

生：5除以 5，商是 1，余数是0。

师：6。

生：1号位。

师：算式是——

生：6÷5=1……1。

……

师：你们是不是发现什么规律了？

5÷5=1……0；

6÷5=1……1；

7÷5=1……2；

8÷5=1……3；

9÷5=1……4。

生：被除数一个比一个大，余数也一个比一个大。

师：如果被除数继续变大，余数会怎么样？

生：也继续变大。

师：确定吗？

生：确定。

师：举出例子。

生：10÷5=1……5。

师：有不同意见吗？

生：10÷5=2。

师：这两个算式分别是什么意思？

生：第一个算式表示转1圈再转5格，第二个算式表示转2圈。

生：转1圈再转5格就是转2圈呀。

师：正好转2圈，如果要写上余数，怎么写？

生：10÷5=2……0。

师：一个算式，两种答案，这在数学上是不允许的。现在只能选一种，你们认为哪一种好？

（学生意见不一）

师：我们先别急着下结论。照着两种方法接着往下写。

生：11÷5=1……6，11÷5= 2……1。

生：12÷5=1……7，12÷5= 2……2。

生：13÷5=1……8，13÷5= 2……3。

生：14÷5=1……9，14÷5= 2……4。

师：照这样的规律写下去，下一个算式是什么？余数是什么？

生：15÷5=1……10，15÷5= 3……0。

师：你喜欢哪一种表示方法？

生：右边的，因为三五 15，它的答案就是3。

生：右边的，左边余数越来越大，不好判断它在哪个位子上。

师：按左边的方法，余数一直在变大；按右边的方法，余数是有规律的，你们发现了吗？

生：是 0、1、2、3、4，接下去又是0、1、2、3、4。

师：按右边的方法，余数有没有可能是5或6呢？

生：不可能，因为超过 5了就可以再转1圈，6的话就是再转1圈又到1了。

师：数学上，我们采用右边的方法记录带余除法。照上面这样写下去，被除数、商、余数是怎样变化的呢？

生：被除数和商都慢慢变大，但余数变大了还会变小。

生：被除数和商都会一直大下去， 但余数是 0、1、2、3、4、0、1、2、3、4，再回到0。

师：对照0~40的数线，说一说数线上的数除以5余数是多少。

师：你们发现的这个规律，其实是数学上的一个规定：在带余除法中，余数要比除数小。

“余数要比除数小”的数学规定，如果是硬生生地塞给学生，那么学生学习的数学就像是人体的X光片，既没有血肉，也没有灵魂。上面的教学，通过“找位子”和“抢位子”的游戏活动，把直观操作提升为数学方法，通过观察和比较两组算式，结合问题情境与数线直观，发现两个规律：一是同余的数周期性地出现，二是余数总是循环反复。这两个规律丰富了学生的认识，使学生真正理解了“余数要比除数小”的规定。

（作者单位：浙江省新思维教育科学研究院）