两类Liénard系统的小振幅极限环*

熊峰，黄文韬,2

(1. 桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西 桂林 541004； 2. 桂林航天工业学院理学部，广西 桂林 541004)

两类Liénard系统的小振幅极限环*

熊峰1，黄文韬1,2

(1. 桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西 桂林 541004； 2. 桂林航天工业学院理学部，广西 桂林 541004)

Liénard系统；奇点量；细焦点；极限环

Liénard 系统是微分方程中一类经典的系统。Liénard方程最早被发现于20世纪20年代。1928年，法国数学家Liénard将其一般形式推广总结出来，有如下二阶微分方程形式：

(1)

它有几类等价的微分方程组，其中一类有如下形式：

(2)

(3)

(4)

其中a2,a3,a4,a5,a6,a7,b3,b5,b6∈R,下面给出本文研究中需要的一些基础知识。

考虑如下实多项式系统

引理1[9-10]

(5)

通过变换

(6)

系统(5)被转化成下面的复系统

(7)

其中z,w,T是复变量，对于系统(7)可以逐项确定形式级数

(8)

(9)

(10)

定义1 引理1中的μm称为系统(7)原点的第m个奇点量。若

则称原点为系统的k阶细奇点，如果所有的μk=0,则称原点为(7)的中心。归纳文[3-5]等的结论有如下结果。

引理2 对系统(5)，其伴随复系统(7)原点的奇点量μi(i=1,…,k)有k个独立的参数θ=(θ1,…,θk),若θ=θ0时，系统(7)原点为k阶细奇点(相应地系统(5)的原点为k阶细焦点)，且雅克比行列式满足

则系统(5)在原点的充分小邻域内可扰动出k个小振幅极限环。

1 系统(3)的奇点量与极限环

通过变换(6)，系统(3)转化为其伴随复系统：

(11)

根据引理1的递推公式，经过仔细计算，得系统(11)原点的前九阶奇点量如下：

其中

F1= 490a2+ 2 646a6-2 205b3-8 82a2b5+

F2= -8 575 + 6 174a2-3 430a2b3+

15 435b5+ 4 900a2b6-11 025b3b6-4 410a2b5b6+

F3= 27 783 + 2 450a2-11 025b3-

4 410a2b5-7 875b6-2 268a2b6+

F4=-1 323-350a2+210a2b5+108a2b6,

76 919 220b5+ 138 454 596b6+

F6= 112 185 067 078 287 + 81 668 445 324 984a2+

定理1 对于系统(3)或者系统(11)，原点均不是系统的中心。

证明 若原点是系统(11)的中心，则至少满足μi=0(i=1,…,9)成立。用Mathematica软件可算得μi的Groebner基，有

GroebnerBasis[(μ1,μ2,…,μ9),

从而得到μi(i=1,…,9)无公共实根，则μi不可能同时为0。证明完毕。

由奇点量表达式及定理1，经过仔细计算，有：

定理2 系统(11)的原点是9阶细奇点(相应的系统(3)的原点是9阶细焦点)当且仅当下列条件成立：

(12)

为了方便应用，取条件(12)的一组近似解如下：a2=-8.687 902 695 280 310 386 372 535 561→ ←267 497 861 887 667 656 914 8…

a3=0

a4=-7.819 112 425 752 279 347 735 282 005 → ←140 748 075 698 900 891 223 4…

a5=-3.475 161 078 112 124 154 549 014 224 → ←506 999 144 755 067 062 765 9…

a6=2.609 695 557 098 913 111 090 399 849 → ←304 541 527 966 817 539 057 8…

(13)

b3=2.332 203 415 494 509 727 338 816 257 094→ ←152 243 605 177 452 566 5…

b5=0.765 518 605 288 184 783 012 543 178 560→ ←337 250 998 721 644 575 5…

b6=0.342 225 757 741 530 933 853 094 928 710→ ←726 629 724 412 789 848 47…

定理3 对于系统(3)，当系数满足条件(12)时，通过微扰在原点邻域可分支出九个极限环。

证明 由定理2知，原点是系统(3)的9阶细焦点。将系统(11)中奇点量表达式与式(13)代入雅克比行列式有：

0.007 957 122 583 684 067 743 343 108→

←392 562 154 328 468 624i≠0

(14)

由引理2知，系统(3)在原点的充分小邻域可分支出9个极限环。

2 系统(4)原点处的极限环

对复系统原点的奇点量进行计算，根据引理1，可算得复系统原点的前八阶奇点量。

定理4 对于系统(4)的伴随复系统，原点的前八阶奇点量为：

其中

与前述一致的讨论，我们有

定理5 系统(4)的伴随复系统原点是8阶细奇点(相应的系统(4)是8阶细焦点)，当且仅当下列条件成立：

(15)

为了方便应用，取(15)式的一组近似解如下

a3=0,

a4=1.066 199 745 897 643 024 480 300 234→ ←879 325 174 247 617 416 339 2…

a5=0,

a6=2.499 999 999 999 999 999 999 999 999 → ←894 591 005 342 125 416 194…

a7=0.852 959 796 718 114 419 584 240 136→ ←842 496 399 959 665 416 154 5…

(16)

b3=3.059 062 112 534 832 064 433 729 022→ ←782 908 032 703 145 369 381 4…

b5=0.801 673 224 169 897 089 309 161 039→ ←794 232 564 336 279 331 615 5…

定理6 对于系统(4)，当系数满足式(16)时，通过微扰在原点邻域可分支出八个极限环。

证明 由定理5知当式(16)成立时，原点是系统(4)的8阶细焦点，将式(16)以及定理5中的奇点量表达式代入雅克比行列式

0.007 957 122 583 684 067 743 343 102→

←619 368 852 012 419 584 579 936i≠0

(17)

由引理2知，系统(4)在原点邻域可分支出8个极限环。

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Small amplitude limit cycles for two classes of Liénard systems

XIONGFeng1,HUANGWentao1,2

(1. School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China; 2. School of Science, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin 541004, China)

Liénard system; singular point; fine focus; limit cycles

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.03.010

2016-08-05 基金项目：国家自然科学基金 (11261013，11361017)；广西省自然科学基金重点项目(2016GXNSFDA380031)

熊峰(1990年生)，男；研究方向：微分方程定性理论及其应用；E-mail:1073620114@qq.com

黄文韬(1966年生)，男；研究方向：微分方程定性理论及其应用；E-mail: huangwentao@163.com

O

A

0529-6579(2017)03-0066-05