辨析常用逻辑用语的易错点

安徽省利辛高级中学(341000)

陈国林●

辨析常用逻辑用语的易错点

安徽省利辛高级中学(341000)

陈国林●

常用逻辑用语在中学数学中起着基础性和工具性作用，通常问题设计范围较广，可与几何、向量、导数、数列、三角函数、基本初等函数进行结合考查.下面对几个常见的错误点进行分析，供读者参考.

一、对与或非的含义模糊致误

A.p是真命题，p:∀

B.p是真命题，p:∃

C.p是假命题，p:∀

D.p是假命题，p:∃

错解 A

错因分析 没有搞清楚非的含义，误认为只需要把sinx>x改成sinx≤x即可.

二、不能正确区分否命题和命题的否定致误

例2 (2016年山东省5市联考)命题”∃x∈R,x2是无理数”的否定是( ).

A.∃x∉R,x2不是无理数

B.∃x∈R,x2不是无理数

C.∀x∉R,x2不是无理数

D.∀x∈R,x2不是无理数

错解 A

错因分析 将否命题和命题的否定搞混淆，命题p的否定为“非p”，一般只是否定命题p的结论，否命题需要先将原命题的存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词，然后否定结论.

正解 存在命题的否定是先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故否定是：“∀x∈R,x2不是无理数”.即D答案正确.

三、考虑问题不周致误

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

错因分析 考虑问题不够全面，只是选择了一个特殊情况进行了验证.

错因分析 考虑问题不够全面，只考虑了a,b向量的方向在同一方向上致误.

四、对“p或q”的否定有误而致误

例4 (2015年利辛高级中学高二测试节选)判断命题真假：若x2-3x+2≠0，则x≠1或x≠2.

错解 因为互为逆否的两个命题同真假，而命题“若x2-3x+2≠0，则x≠1或x≠2.”的逆否命题为“若x=1或x=2，则x2-3x+2=0．”显然此命题为真命题，故原命题为真命题．

错因分析 误将“x≠1或x≠2”的否定理解为“x=1或x=2”，正确的否定是“x=1且x=2”．

正解 因为互为逆否的两个命题同真同假，而命题“若x2-3x+2≠0，则x≠1或x≠2.．”的逆否命题为“若x=1且x=2，则x2-3x+2=0．”显然此命题为假命题，故原命题为假命题．

五、充分条件、必要条件混淆致误

例5 (2016年 安庆二模)设角A、B、C是△ABC的三个内角，则“A+B

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条

错解 B

错因分析 识记不好，不能真正理解充分条件，必要条件的概念.对于两个条件A,B，如果A⟹B,则A是B的充分条件，B是A的必要条件.

跟踪练习

1.(2016年桂林、百色、来宾、贺州、崇左五市联考)命题“∀x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是( ).

A.∀x∈R，x2+2x+1<0 B.∀x∉R，x2+2x+1<0

C.∃x∉R，x2+2x+1<0 D.∃x∈R，x2+2x+1<0

易错点分析 命题的否定和否命题搞不清楚，错认为命题“∀x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是∀x∉R，x2+2x+1<0，从而错选B.

正解 全称命题的否定是先将全称量词改为存在量词，然后否定结论，故否定是“∃x∈R，x2+2x+1<0”，故选D.

2.(2016年镇海中学高三模拟)设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真的是( ).

A.若m⊥α,n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

B.若m∥α,n∥β，且α∥β，则m∥n

C.若m⊥α,n⊂β，且m⊥n，则α⊥β

D.若m⊂α,n⊂α，且m∥β,n∥β，则α∥β

易错点分析 忽略当m∥α,n∥β，且α∥β时，m,n相交的情况错选B,m∥n；忽略当m⊥α,n⊂β，且m⊥n时，α,β相交,错选C；

正解 由易错点分析中可知B,C错误，D选项成立还需要添加m与n相交时才成立，故A选项正确.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.(2016年江西省高三九校联考)下列判断错误的是( ).

A．命题“若am2

C．若a∥c且b∥c，则a∥b是真命题.

D．命题“p∧q为假命题，则p,q至少一个为假命题.

易错点分析 将命题否定和否命题概念搞混，误认为B选项错误,

正解 当c=0时，a∥c且b∥c，a∥b不成立，故选C.

5.写出“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的否命题是____．

易错点分析 ①概念模糊，弄错两类命题的关系，错将否命题写成“若a∉M或a∉P，则a∈M∩P”；②没有将“或”否定成“且”.

正解 若a∈M且a∈P，则a∈M∩P.

6.对任意实数a,b,c，给出下列命题，其中是真命题的序号有____．

①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.

易错点分析 ①中，忽视c=0时，导致误选；③中忽视0>a>b导致误选.

正解 ②④ 当c=0时，①错误；一个无理数减去一个整数还是无理数，一个无理数加上一个整数还是无理数，所以②正确；当0>a>b时，③错误；④很显然正确.

7. 已知命题p：-2≤x≤10；命题q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

易错点分析 本题很容易忽视集合B={x|1-m≤x≤1+m,m>0} 中“1-m=-2和1+m=10不同时成立”这个隐含条件，导致出现错误答案(9,+)．

正解 命题p对应的集合为A={x|-2≤x≤10}．设命题q对应的集合为B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}．因为p是q的必要而不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件，得到AB．注意到1-m=-2和1+m=10不能同时成立，从而解得m≥9．即实数m的取值范围是[9,+)．

正解 因为函数函数y=cx在R上单调递减，所以00，且c≠1，所以p：c>1.又因为函数f(x)=x2-2cx+1在)上为增函数，所以，即.因为c>0，且c≠1，所以且c≠1.又因为“p且q为假”，“p或q为真”，所以p真q假,或p假q真.

G632

B

1008-0333(2017)01-0008-02