数形结合思想解函数零点问题

江苏省如皋市第二中学(226500)

何 敏●

数形结合思想解函数零点问题

江苏省如皋市第二中学(226500)

何 敏●

在高中数学中，函数的研究主要就是两种基本的方法：解析式以及函数图象，这分别是“数”以及“形”的体现，而数形结合的思想就是将两者结合在一起，实现互相补充与完善，使我们在解函数零点问题时如虎添翼.

数形结合;零点个数;参数范围;零点数值

一、画出图形，查出零点个数

零点的个数问题涉及到方程与函数思想的引入，这里常将方程根的问题与函数零点问题相结合，这是高中数学非常重要的知识，课堂上老师也定会强调此类问题相互转化的关系，学生必须真正了解其中的含义才能解题.

解析 本题中零点的个数很显然可以转化为g(x)和f(x)图象交点个数，但由于需要在同一坐标系上画出两个图形，我们对图形精度的掌握就必须准确，这就必须要从数的角度去计算求解，比较特殊点的函数值大小，才能确定最终图形的形状.如图所示，通过简单的变换推导我们不难画出f(x)在整个实数域内的图象，而g(x)的图象也是不难画出的.最困难的就在于对于[9,10]内的交点个数的确定，我们用眼睛是无法观察出来的.在[9,10]内，f(x)=1-(x-10)2，g(x)=lgx，思路就是构造一个函数p(x)=g(x)-f(x)，对构造的函数求导数，得出其在此区间上的单调性，令x0为p′(x)的根，最终求得x0∈[9,10]，故p(x)在[9,10]上是先减后增的，且求得p(9)>0，p(10)=0，因此可得出函数在(9,x0)内必有唯一零点，再结合之前的零点，我们可以算出一共是19个零点.

点拨 本题利用数形结合的思想固然没错，但是如果过于依赖图形传递的信息肯定是不行的，[9,10]内我们是很难画的十分准确的，我们也不能用这种方法解决此类问题，必须用计算的数值准确确定特殊点的数值.

二、给出零点，反求参数范围

此类问题经常并不会给零点的具体数值，而是给出是否存在零点或零点的个数，让我们求函数式中参数的范围，并且这类问题通常都是两个函数或多个函数相结合的情况，学生要巧妙地利用数形结合求出问题答案.

(1)若函数p(x)=g(x)-m存在零点，求m的取值范围；

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根，求m的取值范围.

解析 两个函数分别是二次函数以及对号函数，都是我们学习过程中常见的函数类型，我们对于其性质以及图象的画法应该掌握得很清楚，因此第一问只需要求出g(x)的最小值，并且保证m的值大于或者等于这个最小值即可，故得出m≥2e.而在第二个问中，不同的相异实根就是说明两个图象有两个交点，在同一直角坐标系中画出两个图象，如图所示，只要保证f(x)的最大值大于g(x)的最小值即可.因此有m-1+e2>2e，故m的取值范围是(2e-e2+1,+∞).

点拨 本题中不同的两种问法其实最终解题的思路是相同的，这就是函数零点问题的巧妙之处，不同的出题方式容易让学生产生困惑，如果学生对概念以及知识掌握得不牢固，很容易出现无从下手的情况.

三、巧用图象，求出零点数值

如果单一的求一个函数的零点值其实是不用数形结合思想的，但是倘若将两个函数相结合，求两个函数的零点的和就需要认真考虑了，因为这种题都是需要技巧性的，通过常规的求解是很难得出正确答案的，这就体现了数形结合的好处.

例3 若有两个函数f(x)=ex+x-3和g(x)=lnx+x-3，零点分别是x1、x2，求x1+x2的值.

解析 观察两个函数，通过常规的求解我们几乎不能求出两个函数的数值.如果要在坐标系中直接画出两个函数的图形也是很困难的，因为这并不是我们学习过的函数，更不用说把他们结合在一起了.但细心的学生会发现，令两个函数分别为0后，就得出ex=-x+3以及lnx=-x+3两个等式都有-x+3，并且ex与lnx是互为反函数，两个图象是关于y=x对称的.如果把上面这四个函数分别画在同一个坐标系中，我们就会得到两条互相垂直的直线以及两个对称的函数的图象了.设直线与对称的两个函数图象的交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，很显然两点也是关于直线y=x对称的.因此有x1+x2=x1+y1=3.

点拨 对称性是本题中解题的最大亮点，题目对于学生的思维能力创新有很大的考验，学生一定要有灵活的思维方式才能找出此题正确的解题方法.本题将数形结合展现的淋漓尽致，综合考查了学生的解题能力.

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1008-0333(2017)01-0062-01